2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第32讲 平面向量的数量积 含答案

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1、第32讲　平面向量的数量积　　　　　　　　　　　1．理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义．2．掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．知识梳理1．两向量的夹角与垂直已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则　∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)　叫做向量a，b的夹角，特别地，当a与b夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作　a⊥b　.2．向量数量积的定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量　

2、a

3、·

4、b

5、cosθ　叫做a与b的数量

6、积，记作a·b，即a·b＝　

7、a

8、·

9、b

10、cosθ　.规定0与任一向量的数量积为　0　.3．a·b的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影．设θ是向量a与b的夹角，则　

11、a

12、cosθ　叫做a在b方向上的投影，　

13、b

14、cosθ　叫做b在a方向上的投影．(2)a·b的几何意义：a·b等于a的长度　

15、a

16、　与b在a方向上的投影　

17、b

18、cosθ　的乘积．4．向量数量积的性质a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ.(1)当a与b同向时，a·b＝　

19、a

20、

21、b

22、　；当a与b反向时，a·b＝　－

23、a

24、

25、b

26、　；特别地，a·a＝　a2＝

27、a

28、2　或

29、a

30、＝　　.(2)a·b＝0　

31、a⊥b　.(3)cosθ＝　　.(4)

32、a·b

33、　≤　

34、a

35、

36、b

37、.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝　b·a　(交换律)．(2)(λa)·b＝　λ(a·b)　＝　a·(λb)　(λ∈R)．(3)(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　.6．向量数量积的坐标表示(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝　x1x2＋y1y2　.(2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝

38、a

39、2＝　x2＋y2　，

40、a

41、＝　　.(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

42、

43、＝　　，此时为两点间的距离公式．(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b　x1x2＋y1

44、y2＝0　.(5)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝　　.1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．2．平面向量数量积的常用公式(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.热身练习1．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(A)A．－B．0C.D．3　因为a，b＝120°，所以a·b＝1×1×cos120°＝－，同理，b·c

45、＝c·a＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝－.2．若a＝(4,2)，b＝(－4,3)，则a在b方向上的投影是(D)A．－5B.C.D．－2　设a，b的夹角为θ，因为a·b＝

46、a

47、

48、b

49、cosθ，所以a在b上的投影为

50、a

51、cosθ＝＝＝＝－2.3．已知a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．2　由题意可得a2＝2，a·b＝－3，所以(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.4．(2018·北京卷)已知向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝　－1　.　因为a＝(1,0)，b＝(－1，m)，所以ma－

52、b＝(m＋1，－m)．又a⊥(ma－b)，所以a·(ma－b)＝0，即m＋1＝0，解得m＝－1.5．(2016·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为　　.　由题意得

53、a

54、＝＝2，

55、b

56、＝＝2，a·b＝1×＋×1＝2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.　　　　　　　　　　　向量的数量积、模已知

57、a

58、＝2，

59、b

60、＝3，a与b的夹角为120°，则：(1)(2a－b)·(a＋3b)＝____________；(2)

61、a＋b

62、＝__________.因为

63、a

64、＝2，

65、b

66、＝3，a与b的夹角为120°，所以a·b＝

67、a

68、

69、

70、b

71、cos120°＝2×3×(－)＝－3.(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2

72、a

73、2＋5a·b－3

74、b

75、2＝8－15－27＝－34.(2)

76、a＋b

77、＝＝＝＝.(1)－34　(2)(1)求平面向量的数量积的基本方法：①利用定义；②利用坐标运算；③利用运算律．(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①a2＝a·a＝

78、a

79、2或

80、a

81、＝；②

82、a±b

83、＝＝；③若a＝(x，y)，则

84、a

85、＝.1．(1)(经典真题)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝　2　.(2)(经典真题)