逻辑代数&逻辑运算

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1、逻辑代数及基本逻辑运算逻辑代数与普通代数不一样，逻辑变量的取值只能是0或1，其并不表示数量的概念，仅表示对事件判断的真假，而无大小、正负的区分。在逻辑代数中，如果仅用信号量并不能反映数字电路设计中的逻辑功能行为，所以还需要反映出各种逻辑思维的复杂关系，这些复杂关系的相互联系反映到数学中就是几种运算关系，即离散数学中的三种全功能联结词：与、或、非三种运算关系。析取联结词是一个复合命题，记为P∨Q，只有在前提条件P和Q都为假时，P∨Q真值才为假，其余情况下，P∨Q真值都为真。（表1.1）数字系统中的析取联结词表示“可

2、兼或”可兼或的语言表示为：结论F：我今天要上课；前提：或有英语课或有数学课。或运算在数字系统中也称为逻辑加。或运算可表示为：F=A+B或F=A∨B（表1.2）析取联结词与正“或”门电路在数字电路中，实现或运算逻辑功能的电路称为或门。或门具有逻辑加的功能，它具有两个或两个以上的输入端和一个输出端，电路结构和符号为：ABF12R电路的工作原理如下：ABF二极管1导通二极管2导通+ABF合取也是一个复合命题，记为P∧Q，只有在前提条件P和Q都为真时，P∧Q真值才为真，其余情况下，P∧Q真值都为假。（表1.3）数字系统中

3、的合取联结词表示“与”与运算的语言表示为：结论F：我去书店买了一本数学书；前提：我去了书店而且书店里有数学书卖。与运算在数字系统中也称为逻辑乘。与运算可表示为：F=A·B或F=A∧B（表1.4）合取联结词与正“与”门电路ABF12R+5电路的工作原理如下：ABF二极管1截止二极管1导通二极管2截止二极管1截止在数字电路中，实现与运算逻辑功能的电路称为与门。与门具有逻辑乘的功能，它具有两个或两个以上的输入端和一个输出端，电路结构和符号为：&ABF否定联结词要修改原命题内容，假设P是一个命题，而P的否命题就是一个新命

4、题。否定联结词用符号“┐”表示（表1.5）数字系统中的否定联结词表示“非”非运算的语言表示为：结论F：今天我上了英语课；前提：我今天没有上英语课。非运算也称为否定运算非运算表示为：F=A或F=┐A（表1.6）否定联结词与“非”门电路ARRRF+5v电路的工作原理如下：AF三极管导通三极管截止在数字电路中，实现非运算逻辑功能的电路称为非门。非门具有逻辑否定功能，电路结构和符号为：AF实际逻辑网络中的逻辑函数与、或、非三种运算是逻辑代数的基本运算，因此，与门、或门、非门就构成了数字逻辑网络中的基本门电路。但在实际应用

5、中，人们发现只以这三种门电路来设计一个数字系统比较复杂，因此就出现了一些输入、输出关系可用专门逻辑函数来表示的基本电路，若以这些基本电路来进行设计，将为设计者带来不少的方便，将这类基础门电路也称为复合门。与非逻辑及或非逻辑这两种逻辑关系分别描述为：与非逻辑：F=AB或非逻辑：F=A+B复合逻辑门电路它们的真值表为：ABABA+B0011011010101100逻辑电路用符号表示为：这种门电路的表示只有2个输入端，实际小规模集成电路中的输入端可以提供5个，超过5个则需要用扩充技术。&AB+AB与或非逻辑在实际逻辑函

6、数中，经常看到这样的逻辑函数：F=AB+CD+EF，这就是通常说的与或非逻辑。如果用最简单的与、或、非逻辑来实现这个函数表示，就需要三个与门、两个或门、一个非门，共六个门来实现这个函数。为了简化逻辑网络的实现，在集成电路的生产过程中，将这种逻辑网络作成一个门电路，其符号表示为：+A1A2B1B2C1C2双条件联结词与“同或”电路双条件联结词是一个复合命题，记作PQ。前提条件P和Q都为真或假时，PQ真值为真，其余情况下PQ真值为假。（表1.8）双条件运算在数字系统中称为逻辑同，也称为同或门，运算符号用⊙表示。同或逻

7、辑表示为：F=AB+AB=A⊙B真值表为：ABA⊙B001010100111符号表示为：⊙AB不可兼或连接词与“异或”电路不可兼或联结词也是一个复合命题，它是双条件联结词PQ的否定，记为PQ（表1.10）不可兼或运算在数字系统中称为逻辑异，也称为异或门，运算符号用表示异或逻辑表示为：F=AB+AB=AB真值表为：ABAB000011101110符号表示为:AB真值表：ABABA⊙B0001011010101101从真值表可以看出：当异或为1时，同或为0；反之异或为0时，同或为1。所以，这两个逻辑函数是互

8、为互补的，或说是对偶的。证明如下：令F=AB=AB+AB；则F’=(A+B)(A+B)=AA+AB+AB+BB=AB+AB=A⊙B同理：令F=A⊙B=AB+AB；则：F’=(A+B)(A+B)=AA+AB+AB+BB=AB+AB=AB证毕异或与同或的关系异或逻辑及同或逻辑具有如下7个公式：1、AA=0；2、AA=1；3、A0=A；4、A1=A；5、AB=A⊙