高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教...

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1、高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教...高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组www.docin.com高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组子空间的交与和子空间的交与和是的子空间集合的运算。由于两个子空间的并一般未必仍是子空间所以集合并的运算不是的子空间集合的运算。因此引入子空间的和。我们切不可把子空间的和与集合的并混为一谈例如在2中若分别表示x轴和y轴上所有点的集合那么和

2、都是2的子空间且2显然≠∪。www.docin.com高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组定理1:如果V1V2是线性空间V的两个子空间那么它们的交V1∩V2也是V的子空间。证明由0∈V10∈V2知0∈V1∩V2因而V1∩V2是非空集合如果∈V1∩V2即∈V1、且∩V2那么∈V1∈V2因此∈V1∩V2。V1∩V2是V的子集。子空间的交满足运算规律结合律交换率()()((3213211221VVVVVV

3、VVVVwww.docin.com高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组多个子空间的交定义1:设V1V2是线性空间V的子空间所谓V1与V2和定义为定理2如果V1V2是线性空间V的两个子空间那么它们的和V1V2也是V的子空间。.V121的子空间也是siisVVVV22112121,

4、VVVVwww.docin.com高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组证明由于0∈V10∈V2000∈V1V

5、2因而V1V2是非空集合如果1212∈V1V2因11∈V1、22∈V2有(11)(22)∈V1V2k=k(12)=k1k2∈V1V2因此V1+V2是V的子集.有限个子空间的和.V121的子空间也是siisVVVVwww.docin.com高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组因为任意一个阶矩阵都可表为阶对称矩阵与阶反对称阵的和,所以有n(),其中,分别为全体阶对

6、称和全体阶反对称矩阵的集合,它们都是子空间.前面所说2也是一个子空间和的具体例子,我们应当善于利用这些具体例子去理解一般子空间的和的概念www.docin.com高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组?关于子空间的交与和有以下结论:22112121212121212121)3()2(;)1(:,.2.,;,,,.1VVVVVVVVVVVVWVWVWVVWVWVWWVV下列命题是等价的与对于子空间可推出而由可推出与那么由都是子空间设www.doci

7、n.com高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组例1在二位几何空间中,若V1,V2分别是x轴与y轴,则V1∩V2={0},V1+V2=R2.例2在三位几何空间中,若V1表示过原点的直线,V2是过原点且与V1垂直的平面,则V1∩V2={0},V1+V2=R3.例3线性空间Pn中,若V1是As×nx=0的解空间,V2是Br×nx=0的解空间,则V1∩V2是的解空间.0XBAwww.docin.com高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组线性空间V中,

8、有),,,,,,,(),,,(),,,(21212121trtrLLL(维数定理))()()()(,,21212121VVVVVVVVV维维维维那么的两个子空间是线性空间如果www.docin.com高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组证明维数定理),,,,,(),,,,,(,,,,,,,,,,,,V,,,,)(,)(,)(1121111212121121212121rmrsmmrmmsmmmLVLVVVVmVVrVsV

9、有的一组基与的一组基分别扩充成的一组基是维维设维),,,,,,,,(11121rmsmmLVVwww.docin.com高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组线性无关只需证明tmsmm,,,,,,,,11102211112211tmtmmssmmmmpppkkkkk