代数第三章习题解答   

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1、习题三习题解答　　(A)　　　1．用消元法解下列线性方程组．　(1)．　(2)．　(3)．　(4)．　(5)．　(6)．解：(1)31，所以原方程组的解为，．(2)，所以原方程组无解．(3)，31所以原方程组的全部解为（为任意常数）．(4)，所以原方程组的全部解为(为任意常数)．．(5)，31所以原方程组的全部解为(为任意常数)．(6)，所以原方程组的解为．　　2．当为何值时，齐次线性方程组　有非零解，并求出非零解．解：，当，即时，原方程组有非零解，当时，继续对上述行阶梯形矩阵施以初等行变换　　31　　　，由此得，令自由未知量，则原

2、方程组的非零解为（为任意常数）．　　3．当为何值时，线性方程组　　有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，求出它的解．解：，(1)当且时，所以原方程组有唯一解；(2)当时，，所以原方程组有无解；当时，，由此得，令自由未知量，则原方程组的全部解为31（为任意常数）．　　4．已知向量，，，且向量满足，求向量．解：由题有，所以．　　5．把表示为其余向量的线性组合．(1)，，，．(2)，，，．解：(1)对矩阵施以初等行变换，所以．　(2)对矩阵施以31所以，对应的线性方程组有无穷解，令　　　，表示向量的线性组合为．6．设有向量，

3、，，．　试问当为何值时，　(1)可由线性表示，且表达式唯一．　(2)可由线性表示，但表达式不唯一．(3)不能由线性表示．解：设，因此有其系数行列式，　　(1)当时，方程组有唯一解，此时，可由唯一地线性表示．　　(2)当时，方程组有无穷多个解，此时，可由线性表示，但表达式不唯一．　　　(3)当．时，上述方程组的增广阵，由于，因此，上述方程组无解，故不能由线性表示．　　7．判断下列向量组是线性相关，还是线性无关？(1),，．(2)，，．31解：(1)，于是，所以向量组线性无关．(2)，于是，所以向量组线性相关．　　8．设线性无关，线性相

4、关，试将由线　　性表示．解：因为线性相关，所以存在不全为零的数，使，即，因为线性无关，不为零，否则，若，必有，于是，这与不全为零矛盾，所以　　　　　，9．设线性相关，也线性相关，问是否一定线性相关？举例说明．31解：否．例如，，，，于是，，而线性相关，也线性相关，但线性无关．10．已知向量组,，，求为何值时，向量组线性相关？线性无关？解：由题有，当且时，线性无关；当或时，线性相关．11．已知向量组线性无关，试证：向量组，也线性无关．证明：设有数，使得，即　　，由于向量组线性无关，所以　，解这个方程组得，由此可知，向量组，也线性无关．

5、　　12．已知向量组由线性表示为，，，31(1)试把向量组由线性表示；(2)这两个向量组是否等价？解：(1)将向量组由线性表示的关系式写成矩阵形式为，于是，所以向量组由线性表示的关系是为，，．(2)由(1)知，向量组与能相互线性表示，所以这两个向量组等价．13．设维向量组，证明：与维基本单位向量组等价．证明：向量组可由维基本单位向量组线性表示，即，，．维基本单位向量组可由向量组线性表示，即，．向量组与维基本单位向量组能相互线性表示31，所以这两个向量组等价．14．设向量组中，，并且不能由线性表示，证明：线性无关．证明：设存在数，使得

6、．对于，从右往左考虑，设是第一个不为零的数，即，，而，所以，从而，即，能由线性表示，与题设矛盾，因此，，因此线性无关．　　15．设向量组线性无关，作下列线性组合　　，，证明：也线性无关．证明：设存在数，使得，即，于是，由题设，向量组线性无关，所以，也线性无关．16．证明：维向量组线性无关的充分必要条件是任一维向量都可由31线性表示．证明：必要性　对于任一维向量，向量组线性相关，从而存在不全为零的数使得，则，否则不全为零，且，这与线性无关矛盾．所以可被线性表示．充分性　因为任一维向量均可被线性表示，所以维基本单位向量组可由线性表示，而

7、又可由线性表示，所以，从而线性无关．17．设向量组的秩为，求证：中任意个线性无关的向量都是该向量组的一个极大线性无关组．证明：设向量组是向量组中的线性无关的部分组，因为，所以对于任一向量，向量组必线性相关。否则，向量组的秩至少为，这与题设条件矛盾，所以向量组是向量组的一个极大线性无关组．　　18．设向量组的秩为，证明：该向量组中任取个向量所构成向量组的秩．证明：在向量组中任取个向量，设其秩为，设是其极大线性无关组，由于，因此，在可在扩充个向量，使其成为的极大线性无关组，而这个向量只能取自这个向量之外，所以31　　　　　　，即，问题的

8、证．19．设向量组(Ⅰ)：；(Ⅱ)：和(Ⅲ)：．若各向量组的秩分别为(Ⅰ)(Ⅱ)3，(Ⅲ)4.证明：向量组的秩为4．证明：设有数，使得，因为(Ⅰ)(Ⅱ)3，所以有数，使得，代入上式得　　　　，因为(Ⅲ)4，即线性无关，所以，解得，故向