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1、数论基础质数、合数、因数分解，奇偶分析疑腹昌慝1.整数的奇偶性1）将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.2）任一偶数可表为（加WZ）,任一奇数可表为2加+1或2m—的形式.3）奇、偶数具有如下性质：（1）奇数土奇数二偶数；偶数土偶数二偶数；奇数土偶数二奇数；偶数x偶数二偶数；奇数x偶数二偶数；奇数X奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8加+1形式，偶数的平方都可表为8加或8加+4的形式（mEZ）.（3）任何一个正整数n,都可以写成n=Tl的形式，其中刃为非负整数，/为奇数.这些性质既简单乂明显，然而它却能解
2、决数学竞赛中一些难题.2.质数与合数、算术基本定理1）大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则为合数.显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.2）定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而4可以写成标准分解式:A=P：'•…P："（*）.其中Piv%v…vp”,口为质数,0为非负整数,i=l,2,77.3）推论：（
3、合数的因子个数计算公式）若A=pjp?・.・p7为标准分解式，则A的所有因子（包括1和A本身）的个数等于（0+1）（闵+1）・4）定理：质数的个数是无穷的.関凹®I题分解质因数及应用1.（金帆2012-2013年学年五升六暑期第八讲第3题）有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？【答案】彳【解析】140=22x5x7,最简分数从小到大排列,—,专，-^―,所以第三个分数是舟■<>1403528202o1.（金帆2012-2013年学年五升六署期第八讲第4题）在射箭
4、运动中，每射一箭得到的坏数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总坏数比乙少4坏.求甲、乙的总环数各是多少？【答案】甲24,乙28【解析】依題意知，每射一箭的环数，只能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的一个，而甲、乙5箭总环数的积1764^0,这说明在甲、乙5箭得到的环数里没有0和10,而1764=22x32x72是由5箭的环数乘出来的，于是推知每人有两箭中的环数都是7,从而可知另外3箭的环数，可能的情形有5种：4,9；1,6,6；2
5、,2,9；2,3,6：3,3,4.因此，两人5箭的环数有5种可能：6,6,0,3,9和是28；6,6,0,5,6和是27；6,6,1,1,9和是27；6,6,1,2,6和是25；6,6,2,2,4和是24.因为，甲、乙的总环数相差4,甲的总环数少，所以，甲的总环数是24,乙的总环数是28。2.（金帆2012-2013年学年五升六暑期第八讲第5题）一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？【答案】6934【解析】39270=2x3x5x7x11x17=33x34x3
6、5,所以33厘米、34厘米、35厘米是这个长方体的长、宽、高.它的表面积：2x（33x34+33x35+34x35）=2x3467=6934平方厘米.最大公因数与最小公倍数3.（金帆2012-2013年学年五升六暑期第八讲第1题）数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【答案】24,1170【解析］360=23x32x5,约数个数为4x3x2=24•约数和为（2°+21+22+23）x（3°+3'+32）x（5°+5'）=1170.4.（金帆2012-2013年学年五升六暑期第八讲第2题）4、3两数都仅含有质因数3和5,它们的
7、最大公约数是75.已知数4有12个约数，数B有10个约数，那么A、3两数的和等于多少？【答案】2550【解析】75=3x5',假设A=3乂5、0,B=3x52xZ?,a.b互质，B有10个约数，B为/?=3x54=1875.X有12个约数，12=2x6=3x4,所以力可能为A=3x55=9375（舍），或A=32x53=1125（舍），或A=33x52=675.A、B两数和为2550.当X=1时，严“297：35[^=692=22x173当x二9时，r+z?~33~3x11^=76=22x19a、b无整数解。当X=11时,a+b=
8、27=^ab=62=2x31a、b无整数解。当X=33时,6/+/7=9=326/Z?=20=22x5a、b分别为4,5o当X二99时,a+b=3ab=7a、b无整数解。综上所述,1.（金帆2012-2013年学年五升六署期第八讲第6题）3条圆形跑
