资源描述：
《高中数学竞赛平面几何讲座第五讲三角形的五心》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学竞赛平面几何讲座第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、夕卜心.三角形外接圆的圆心，简称外心•与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1・过等腰△ABC底边BC上一点P引PM〃CA交AB于M；引PN//BA交AC于N.作点P关TMN的对称点P•试证：P'点在/XABC外接圆上."（杭州大学《中学数学竞赛习题》）分析：由已知可得MP'二MAMB,NPf二NP二NC,故点M是的外心，点N是ZPPC的外心.有ZBPfP二'ZBMP二'ZBAC,22ZPPrC=-ZPNC二丄ZBAC.2
2、2・•-ZBPfC二ZBP'P+ZP'PC二ZBAC.从而，P'点与A,B,C共圆、即P在厶ABC外接圆上.由于P'P平分ZBPfC,显然还有PrB:P'C=BP:PC.例2.在厶ABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S.证明以△APS,BQP,△CSQ的外心为顶点的三幷形与△A3C相似.£(B?波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设01，。2，。3是厶APS,厶BQP,△CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S斤再曲外心性质可知ZP0}S=2ZA,ZQ02W2ZB,ZSO3Q二2ZC.・・・ZPO
3、S+ZQO2P+ZS
4、O3Q二360°.从而又知ZO1PO2+ZO2QO3+ZO3SO］二360°将△OQOs绕着O3点旋转到厶KSO3，易判断△KSOg^ChPO、,同时可得△01。2。3竺△01K(?3・•••ZO2O1O3二ZKO1O3二丄Z020{K2=-(ZO2O1S+ZSO1K)2=-(ZO2O1S+ZPO1O2)2=-ZPOS=ZA；2同理有ZOQ2O3二ZB.故△OQzOssAABC二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心•掌握重心将每条屮线都分成定比2:1及屮线长度公式，便于解题.AD,BE,CF是的三条中线，P是任意一点•证明
5、：在厶PAD,△PBE,△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的(第26届莫斯科数学奥林匹克)分析:分析:设6为厶ABC重心，直线PG与,BC相交.从A,C,D,E,F分别作该直线的垂线，垂足为4’,Cr,Dr,E',Ff・易证=2DD‘,CC二2FF',2EE1=AAf+CCr,:.EEf二DD‘+FF'.两边各扩人3倍，有SAPAD^Sapcf-例4・分析:例4・分析:如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线I韦I成的新三角形相似•其逆亦真.将△如?C简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△'
6、.G为重心，连DE到H,使EH二DE,连HC,HF,则△'就是△HCF.(1)/,h2,/成等差数列=>△".若△4BC为正三角形，易证△s*.不妨设a2b2c,有BE二丄72c2+2a2-b2,2AD=-+2c2-a2.2将cT+c^Zb2,分别代入以上三式，得CF=—a,BE=—b,AD=—c.222•羽•••CF:BE:AD=—a—b—222-a:b:c.故有.(2)Zs/V=^a2,b2,/成等差数列.当△中a2b2c时，△'中CFMBE2AD・.•.J空)2.据“三角形的三条屮线I韦I成的新三角形而积等于原三角形而积
7、的3八右仇'3'有对蔦•3a2=43a2=4CF1=2a2+b2-c2三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5.设人冷人⑷为内接四边形，Hi，仏，也依次为△A2A3A4，△4狙必1，/A^AA2jAA1A2A3的垂心.求证：H[,H，2,H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.（1992,全国高中联赛）分析：连接A2Hi，AiH2,H1H2，记圆半径为R・由△A2A3A4知=2R^A2H]=2RcosZA3A2A4;由△A]404得4]//2=
8、2/?COsZA：0iA4.但ZA3A2A4=ZA3AlA4,故A2f7l=Alf/2.易证A2H{//A{A2,于是，A2H{"A1H2,故得乩日2A2Ai.设HSi与H2A2的交点为M，故乩丹2与/M2关于M点成屮心对称.同理，H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成屮心对称.故四边形HE2H3H4与四边形內血加九关于M点成屮心对称，两者是全等四边形，M，H2,H3,仏在同一个圆上•后者的圆心设为Q，Q与0也关于M成中心对称•由O,M两点，Q点就不难确定了.例6.ABC的垂心，D,E,F分别是BC,
9、CA,的中心.一个以H为圆心的（DH交直线EF,FD,QE于A],如，厲，B?,G，6・求证：AA^AA2=BB}=BB2=CCi=CC2-（1989,加拿大数学奥林匹克训练题）分析：只须证明AA}=BB}=CC}即可.设BC二a,C
