高中数学竞赛专题讲座---平面几何选讲

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1、平面几何选讲反演变换基础知识一.定义1.设是平面上的一个定点，是一个非零常数．如果平面的一个变换，使得对于平面上任意异于的点与其对应点之间，恒有（1）三点共线；（2），则这个变换称为平面的一个反演变换，记做．其中，定点称为反演中心，常数称为反演幂，点称为点的反点．2.在反演变换下，如果平面的图形变为图形，则称图形是图形关于反演变换的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形．3.设两条曲线相交于点，、分别是曲线在点处的切线（如果存在），则与的交角称为曲线在点处的交角；如果两切线重合，则曲线在点处的交角为．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交

2、角称为两圆的交角．当两圆的交角为时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为时，称为直线与圆正交．二.定理定理1.在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．定理2.在反演变换下，设两点（均不同于反演中心）的反点分别为，则有=．定理3.在反演变换下，过反演中心的直线不变．定理4.在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线．定理5.在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆．定理6.在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反．定理7.如果

3、两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切．定理8.如果两直线平行，则其反形（两圆或一圆一直线）相切于反演中心．典型例题一.证明点共线例1.的内切圆与边、、分别相切于点、、，设、、分别是、、的中点．求证：的外心、内心与的外心三点共线．证明：如图，设的内心为，内切圆半径为．以内心为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换，则、、的反点分别为、、，因而的反形是的外接圆．故的外心、内心和的外心三点共线．二.证明线共点3例2.四边形内接于，对角线与相交于，设、、、的外心分别为、、、．求证：、、三直线共点．证明：作反演

4、变换，则、互为反点，、互为反点，不变，直线不变，的外接圆的反形是直线．由于直线与的外接圆正交，因而与正交，即有．又，所以；同理，所以四边形为平行四边形，从而过的中点；同理也过的中点．故、、三线共点．三.证明点共圆例3.设半圆的直径为，圆心为，一直线与半圆交于、两点，且与直线交于．再设与的外接圆的第二个交点为．求证：．证明：以为反演中心作反演变换，其中，为半圆的半径，则半圆上的每一点都不变，与的反形分别为直线、．且设、的反点分别为、，则为直线与的交点，在直径上，直线的反形为的外接圆，直线的反形为的外接圆．而是外接圆的直径．于是问题转化为证明．因为，，是的中点，所以过、、三点的圆是的九点圆

5、，而在九点圆上，又在边上（不同于点），故，因此．四.证明一些几何（不）等式例4.设六个圆都在一定圆内，每一个圆都与定圆外切，并且与相邻的两个小圆外切，若六个小圆与大圆的切点依次为、、、、、．证明：证明：如图以为反演中心作反演变换，则与3的反形为两条平行线，其余5个圆的反形皆是与两条平行线中一条相切的圆；且反形中第一个圆与第五个圆均与两平行线相切，而其余三圆均与相邻的两圆相切．设、、、、的反点分别为、、、、，则其反形中的五个圆与两平行线中的一条（即的反形）依次切于、、、、；再设这五个圆的半径依次为、、、、，则由勾股定理可得，同理，，．显然，于是．但，，，．所以故．练习：1.（2002土耳

6、其数学奥林匹克）两圆外切于点，且内切于另一于点、，另是小圆内公切线割的弦的中点，证明：当、、不共线时，是的内切圆圆心．2.（第30届IMO预选题）双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形．证明双心四边形的两个圆心与对角线的交点共线．3.（1997全国高中数学联赛）已知两个半径不等的圆与圆相交于、两点，圆与圆分别于圆内切于、．求证：的充分必要条件是、、三点共线．3