数学竞赛中的平面几何问题选讲.doc

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1、数学竞赛中的平面几何问题选讲例1（2005年福建省竞赛题）在直角三角形ABC中，，它的内切圆分别与边、、相切于点、、，联结，与内切圆相交于另一点，联结，、、，已知，求证：（1）；（2）。证法1（1）联结，，则是等腰直角三角形，于是，故。又，则∽，所以，①（2）由，，知∽，∽。于是，注（调和四边形）。故由①得，②因，结合②得。∽，从而也是等腰三角形。于是，，所以。例2（2005年福建省竞赛题）已知的内心为，，内切圆与边，，分别相切于点、、，，联结与内切圆的另一个交点为，过点的切线交的延长线于点，求

2、证：（1）∽；（2）。证法1（1）在中，由射影定理可得，有。而，故∽。（2）联结、。因为、、、四点共圆，并由（1）可得。所以，点在四边形的外接圆上，故，即。注：①只要点与，不共线且在⊙上，则均有∽，且。②若、、三点共线，则、、三点也共线，反之亦真。例3（2008年四川省竞赛题）已知⊙与的、分别相切于、，与外接圆相切于点、是的中点，求证。证明如图，连接、、和。因为、分别与⊙相切于、，所以。由和都是⊙的半径，可知14所以由对称性知，且于点。因此即又因为，可知∽，由，过点作两圆的公切线，则，又因为，即

3、，则故。例4（2006年福建省竞赛题）如图，⊙为的外接圆，、分别为中线和角平分线，过点、的⊙的切线相交于点，联结，与和⊙分别相交于点、。求证：点是的内心。证法1先证明是的平分线，即证。如图，作于，联结，则。又，则。所以。由，故∽，则。再证是的平分线。由是中点，则知过点，且。联结、、，则由切割线定理及射影定理，可得，即知、、、四点共圆。于是，。故，即点是的内心。证法2设直线交⊙于、如图，则在上，在直线上，由，且、调和分割，则知平分，即平分。由，且、调和分割，则知平分，故为的内心。例5（第五届西部数

4、学奥林匹克题）如图，过圆外一点作圆的两条切线、，、为切点，再过点作圆的一条割线分别交圆于、两点，过切点作的平行线分别交直线14、于、。求证。证明联结、、，则，所以∽。从而，即。①又，所以∽，即，即。②另一方面，因为∽，∽，所以，。而。所以③于是，故由①、②、③三式即知。注设交于点，则、、、为调和点列，、；、为调和线束而交线于，交直线于，交直线于，则。例6（2001年湖南省夏令营试题）自圆外一点引圆的两条切线、，其中、为切点，过点任意引圆的一条割线交圆于、交于点。证明：证法1如图①②因若作于，则为

5、的中点，且。则②。③为证③，只需证∽。由，、、、四点共圆。又（公用），从而∽。故③式成立，从而①式成立。证法2如图延长到使，则。延长到，使，易得。又公用，∴∽，∴14。证法3要证原等式成立，即要证。由斯特瓦尔特定理可得证法4要证，即证：，又，，则、、、四点共圆。∴，∴，。又∵，∴∽，即，。同理，即，原命题即证。证法5由，即证，即证延长交圆于，则。对及边上的点运用斯特瓦尔特定理，有。又由，得，即14亦即。证法6设交于，作于，则为中点。。①。②。③由∽，∴。④由②，④可得。⑤由①③⑤，可得。，注（1

6、）亦即有此说明点、调和分线段。（2）联结、、、，则四边形中，有，即四边形为调和四边形（由三角形相似有）例7（2008年福建省竞赛题）如图，已知锐角外接圆半径，，的重心和外心分别为和。联结与的延长线交于点。（1）求凹四边形的面积；（2）求的值。解（1）如图，联结，作于，注意到为的外心及，知，。由欧拉线的性质知。由正弦定理，知。于是，凹四边形的面积为。（2）由于，又为的重心，则因此，、、、四点共圆，有。注意到为的外心，由圆幂定理有。因此，，可知，即。例8（2009年福建省竞赛题）如图⊙与线段切于点，

7、且与以为直径的半圆切于点，于点，与以为直径的半圆交于点，且与⊙切于点，联结，。求证（1）、、三点共线；（2）；（3）。14证法1（1）设的中点为。由题设条件知⊙与⊙内切于点，故、、三点共线。联结。由，切⊙于点知，，。因为，，所以，即知、、三点共线。（2）在⊙中，由切割线定理知。联结，由于，则、、、四点共圆，故。联结，则。因此。故。（3）延长至点，使，联结，由（2）中知。故。证法2（1）由设直线交以为直径的圆于，则为所在弦对的弧的中点。而是垂直于的直径，从而与重合，故、、三点共线。（2）同证法1有

8、。联结，在中应用广勾股定理。有，即（3）由三角形的广勾股定理，有。而，则。例8（2004年北京市竞赛题）如图，、分别表示的外心与内心，已知，求证：。证明联结并延长交⊙于，联结，则为弧的中点，，所以，所以。作关于直线的对称点，则在⊙上。于是，，，所以，因此，是等边三角形，即有。又因为，所以为的平分线，则。14从而例9（2006年南昌市竞赛题）如图，四边形内接于圆，是的中点，、、，是线段和的交点，求证：。证明作于，作于，则。设与交于点，由、、、四点共圆，有，从而，故知。因为等腰三角形，则是的中点，而