初中数学竞赛辅导 整数问题选讲.doc

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1、第1讲整数问题选讲【例l】求一个最小的正整数，使它的是平方数，是立方数，是五次方数．分析与解因为这个整数的，，是整数，所以它一定能被2、3、5整除，再考虑这个整数的最小性要求，它应具有形式：又因为是平方数，则均为偶数．因为是立方数，则均为3之倍数．因为是5次方数，则为5之倍数．进而知a是3和5的倍数，且a为奇数，则a最小为15；b是2和5的倍数，且b被3除余l，则b最小数为l0；c是2和3的倍数，且c被5除余l，则c最小数为6；故所求数为【例2】能同时表示成连续9个整数之和、连续l0个整数之和及连续1

2、1个整数之和的最小正整数是哪个?分析与解设所求正整数为A，则依题意A可表示为(其中p，n，k均为整数)：①②③由①、②、③可得：④⑤再由④、⑤知n是11的倍数，且除以9余8．故n最小可取44．所以A的最小值为10×44+55=495．【例3】有一个三位数，能被35整除，并且各位数字之和为l5，求这个数．分析与解设所求三位数为，则有,因为35│N，当然有5│N，故c=0或c=5．当c=0时，有由7│N知7│3.从而7│2a+l因为a+b=15，所以6≤a≤9，故满足7│2a+l的a不存在．当c=5时，有

3、由7│N推出7│6a.显然当a=7时成立．这时b=3，故所求三位数为735．【例4】一个两位数除以它的反序数所得的商恰好等于余数，求这个两位数．分析与解设这个两位数为，则由题意可得：(其中q为自然数)变形为以下就q的取值进行讨论：(1)，有，不可能成立；(2)，有这时y为偶数：时，时，均不可能成立；(3)，有，不存在x、y；(4)，有．这样的x、y也不存在；(5)，有，即无解．综上所述，所求两位数为52．【例5】一整数a若不能被2和3整除，则必能被24整除．分析与解因为，所以需往证24│因为a不能被2

4、整除．则a为奇数．即a可表示为：(k为整数)所以能被8整除．又为连续三整数之积，必能被3整除，而a不能被3整除，则一定能被3整除．由(3，8)=1，知能被3×8=24整除．即证．【例6】若整数a、b、c、d和m使能被5整除，且d不能被5整除，证明：总可以找到这样的整数n，使得也能被5整除．分析与证设消去d得：又由题设d不能被5整除，知m不能被5整除，故m的取值有下列四种情形：，此时取，此时取，此时取，此时取都能有5│，即有5│从而5│B．即对任何的m，都可找到相应的m，使5│B．【例7】试求一个三位数

5、，使得它的平方的末三位数字仍是．分析与解由题意．我们作它应为1000的倍数．而1000=8×125因为(8，125)=1,，所以由l000│推出8│，125│或125│，8│由125│，知=126，251，376，501，626，751；这里仅有，使8│由125│，知=125，250，375，50'0，625，750，这里仅有时，使8│.所以满足条件的三位数有376和625．【例8】如果a为合数，则a的最小质因数一定不大于分析与证设，其中q为最小质因数．若，显然同时也有.则矛盾，所以结论成立．说明这一

6、结论表明，合数a一定是不大于的质数的倍数．换句话说，如果所有不大于的质数都不能整除a(a≠l)，那么a一定是质数．这就给出了判断一个数是不是质数的一种方法，如判断191是不是质数，由于<14，小于14的质数2，3，5，7，11，13都不能整除191，所以191是质数．利用这种方法，可以求出不大于a的所有质数．例如求50以内的所有质数．由于不大于<8的质数有2、3、5、7，可在2，3，4，…，50中依次划去2、3、5、7的倍数(保留2、3、5、7)最后余下的数：2，3，5，7，11，13，17，19，2

7、3，29，31，37，41，43，47就是50以内的全体质数．这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法．·’思考用爱拉托斯散筛选法求出100以内的所有质数．【例9】如果和都是质数，求证：也是质数．分析与解按整数除以3的余数对P进行分类讨论：当时，为合数，故当时，为合数，故于是，由P为质数，仅有P=3，为质数，也为质数．所以只要P和为质数，也为质数．【例l0】有两个两位数，它们的差为56，它们的平方末两位数相同，求这两个数．分析与解设这两个数为，则有。即有4│。又由题设有100│，从而25│不妨设。进而有由于a

8、、b是两位数(a>b)，所以.即n<6,且n为偶数，即有或n=4．经验证当n=4时，故所求两个数为78，22．【例11】把一个两位质数写在另一个两位质数后而得到一个四位数，已知这个四位数恰能被这两个质数之和的一半整除，试求所有这样的四位数．分析与解设这两个两位质数分别为,.，由题设可得：(m为整数)即因为所以由x，y是两个不同的两位质数，知x，y是两位奇数，且,从而是偶数，且又,则只有.而故符合条件的四位数有8个：1353,5313,1947,4719，