数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心.doc

《数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心一、外心三角形外接圆的圆心，简称外心与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理例1．过等腰△AB底边B上一点P引P∥A交AB于；引PN∥BA交A于N作点P关于N的对称点P′试证：P′点在△AB外接圆上分析：由已知可得P′=P=B，NP′=NP=N，故点是△P′BP的外心，点N是△P′P的外心有∠BP′P=∠BP=∠BA，∠PP′=∠PN=∠BA∴∠BP′=∠BP′P+∠P′P=∠BA从而，P′点与A，B，共圆、即P′在△AB外接圆上由于P′P平分∠BP′

2、，显然还有P′B:P′=BP:P例2．在△AB的边AB，B，A上分别取点P，Q，S证明以△APS，△BQP，△SQ的外心为顶点的三角形与△AB相似分析：设1，2，3是△APS，△BQP，△SQ的外心，作出六边形1P2Q3S后再由外心性质可知∠P1S=2∠A，∠Q2P=2∠B，∠S3Q=2∠∴∠P1S+∠Q2P+∠S3Q=360°从而又知∠1P2+∠2Q3+∠3S1=360°将△2Q3绕着3点旋转到△S3，易判断△S1≌△2P1，同时可得△123≌△13∴∠213=∠13=∠21=(∠21S+∠S1)=(∠21S+∠P12)=∠P1S=∠A；同理有∠123=∠

3、B故△123∽△AB二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题例3．AD，BE，F是△AB的三条中线，P是任意一点证明：在△PAD，△PBE，△PF中，其中一个面积等于另外两个面积的和分析：设G为△AB重心，直线PG与AB，B相交从A，，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，′，D′，E′，F′易证AA′=2DD′，′=2FF′，2EE′=AA′+′，∴EE′=DD′+FF′有S△PGE=S△PGD+S△PGF两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PF例4．如果三角形三边的平方成等差数

4、列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似其逆亦真分析：将△AB简记为△，由三中线AD，BE，F围成的三角形简记为△′G为重心，连DE到H，使EH=DE，连H，HF，则△′就是△HF(1)a2，b2，2成等差数列△∽△′若△AB为正三角形，易证△∽△′不妨设a≥b≥，有F=，BE=，AD=将a2+2=2b2，分别代入以上三式，得F=，BE=，AD=∴F:BE:AD=::=a:b:故有△∽△′(2)△∽△′a2，b2，2成等差数列当△中a≥b≥时，△′中F≥BE≥AD　　　∵△∽△′，　　　∴＝()2据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面

5、积的”，有=∴=3a2=4F2=2a2+b2-2a2+2=2b2三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利例．设A1A2A3A4为⊙内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R由△A2A3A4知=2RA2H1=2Rs∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2Rs∠A3A1A4但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故

6、A2H1=A1H2易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1设H1A1与H2A2的交点为，故H1H2与A1A2关于点成中心对称同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于点成中心对称故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上后者的圆心设为Q，Q与也关于成中心对称由，两点，Q点就不难确定了例6．H为△AB的垂心，D，E，F分别是B，A，AB的中心一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，1，2求证：AA1=A

7、A2=BB1=BB2=1=2分析：只须证明AA1=BB1=1即可设B=a，A=b，AB=，△AB外接圆半径为R，⊙H的半径为r连HA1，AH交EF于A=A2+A12=A2+r2-H2=r2+(A2-H2)，①又A2-H2=(AH1)2-(AH-AH1)2=AH•AH1-AH2=AH2•AB-AH2=sA•b-AH2，②而=2RAH2=4R2s2A,=2Ra2=4R2sin2A∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2③由①、②、③有A=r2+•b-(4R2-a2)=(a2+b2+2)-4R2+r2同理，=(a

8、2+b2+2)-4R2+r2，=(a2+b2+2)-