平面几何竞赛之三角形的“五心”[1]

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1、平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：I到三角形三边的距离相等.证明：性质2：设I是⊿ABC内一点，AI所在直线交⊿ABC的外接圆于D，I为⊿ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC.证明：性质3：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：∠BIC=900+∠A，∠AIC=900+∠B，∠AIB=900+∠C.证明：5.1-9,,ser

2、vices,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve15性质4：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：⊿IBC、⊿IAC、⊿IAB的外心均在⊿ABC的外接圆上.证明：性质5：设I为⊿ABC

3、内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB边上的射影分别为D、E、F，内切圆的半径为r，令p=(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r，S⊿ABC=pr==；海伦公式推导：(2)r=；5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thuspro

4、tectingtheregionalpositionandachieve15(3)abc·r=p·AI·BI·CI.性质6：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K，交⊿ABC的外接圆于D，则===.〖例1〗如图，设⊿ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=600，∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E，证明：(1)IO=AE,(2)2R

5、(1982四川省数学竞赛题)5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve15练习【练习1】如图，已知点是的内心，延长交的外接圆于点，交于点．求证：是、的比例中项．【解析】连接

6、．因为是的内心，所以，．所以，．所以，于是．因为，所以．又因为，所以，所以．所以，即是、的比例中项．点评：本题用三角形内心的性质先证明，再证明．已知三角形的内心，通常连接内心和顶点，得角相等．本题很明显，这个命题的逆命题也成立．【练习2】⑴如图，在中，、，的平分线分别交外接圆于点、、．证明：．⑵如图，设为的内心，且、、分别为、、的外心，证明：与有相同的外心．⑶已知是的内心，、、的延长线分别交的外接圆于、、．求证：．5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinves

7、tment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve15　⑷已知一等腰三角形的外接圆半径为，内切圆半径为，证明：两圆心的距离为．【解析】⑴连接、、、、、．因为，，，所以、、相交于一点，即为的内心，则，，．在中，因为，所以．同理可证，．将这三个式子相加并整理，得…①因为，，，所以…②⑵作的外接圆，延长交圆心于，连接、．因