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《高中数学竞赛平面几何讲座三角形的五心》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.——、夕卜尤'・三角形外接圆的圆心，简称外心•与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1.过等腰△ABC底边BC上一点P引PM//CA交ABTM；引PN//BA交AC于N.作点P关于MV的对称点P•试证：Pf点在△4BC外接圆上.（杭州大学《中学数学竞赛习题》）分析：由已知可得=MP二MB,NPr二NP=NC,故点M是BP的外心，点N是PC的外心•有ZBPfP二丄ZBMP二丄ZBAC,22ZPPrC=-ZPNC=-ZBAC・22:.ZBPrC=ZBPfP+ZPP
2、C二ZBAC.从而，P‘点与A,B,C共圆、即在厶ABC外接圆上.由于pp平分/BP'C,显然述有PfB:P‘C二BP:PC・例2.在△ABC的边AB,BC,C4上分别取点P,Q,S・证明以ZvlPS,BQP,△CSQ的外心为顶点的三角形与AABC相似.（B•波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）分析:设01，6，O3MAAP5,HBQP,△CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知ZP01S二2Z4,ZQO2P=2ZB9ZSO32=2ZC.•••ZPO1S+Z0O2P+ZSO3Q二360°.从而乂知ZO]P(?2+ZO2QO
3、3+ZO3SO1二360°将厶O2QO3绕着O3点旋转到厶KSO.易判断△KSOgXhPO、，同时可得△OQ2O3$AO1KO3・・•・ZO2O1O3二ZKO1O3二丄zo2o}k=-(ZQOiS+ZSOiK)2二丄(ZO2O1S+ZPOQ)2一二丄"0S二厶；2同理有ZOQ2O3二ZB.故△O]O2O3sZ4BC.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心•掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3.ADfBE,CF是ZVIBC的三条中线，P是任意一点•证明：在厶PAD,△PBE,APCFH*,其屮一个面积等于
4、另外两个面积的和.分析:AAEBC(第26届莫斯科数学奥林匹克)设G为△ABC重心，直线PG与，BC相交.从A,C,D,E,F分别作该宜线的垂线，垂足为A',C1,D‘，E',F'・易证=2DDf,CCf=2FFf,2EEf=AAf:.EE1二DD‘+FF'・£Shpg^S“pgd+Shpgf・两边各扩人3倍，有S4pbe=S、pad+Shpcf・例4.如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条屮线围成的新三角形相似•其逆亦真.分析：将△ABC简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△'・G为重心，连DE到使EH二
5、DE,连〃C,HF,则△'就是△HCF.(1)/,b2fc2成等差数列=>Zs/V.若△ABC为正三角形，易证△s/V.不妨设心b》c,有*CF占2°mAD=-^2b2+2c2-a2.2将/+/二2/分别代入以上三式，得CF=—a,BE二區b,AD二旦c.222:.CF・・BE:AD当agbgc=a:b:c.故有△s/V・(2)/s/V=>/,/,,c?成等差数列.当△中c&b三c吋，△'中CF2BE2AD・.4(竺)2.S'Q据“三角形的三条中线围成的新三角形而积等丁原三角形而积的］'冇=>6T2+c2=2/?2.三、垂心三角形三条高
6、的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5・设A
7、A2?1^4为OO内接四边形，Hi，H2f丹4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△人心2人3的垂心•求证：H］,日2，日3,也四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.A（1992,全国高中联赛）二2/?=>力2闩］=2/?cosZA^A2A爲sinZA2A3Hl分析：连接A2HlfA1H2,厲也，记鬪半径为R.由△人2人汩4知由△A1A3A4得A
8、H2=2/?cosZA“心4.但ZA3A2A4=ZA3AiA4f故A2H
9、l=AlH2・易证A2Hl//AlA2f于是，A2H^A{H2,故得H}H2的2肛设丹内与咲的交点为M,故川弘与4淤2关于M点成中心对木乐同理，H2H3与血加，丹3丹4与人⑷，Hd/i与AM］都关丁点成中心对称.故四边形H{H2H3H4与四边形/1心2人狙4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H,血,H3,也在同一个圆上后者的圆心设为Q，Q与0也关于M成屮心对称•由0,M两点，0点就不难确定了.例6.//为ZVIBC的垂心，D,E,F分别是BC,CA,的中心.一个以H为陨1心的OH交直线EF,FD,DETAp求证：AA-AA^BB-
10、BB^CC-CC2-（1989,加拿大数学奥林匹克训练题）分析:只须证明AA^BB^CC,即可.设人2,CfC2.BfB2,BC二a,CA=b,AB二c,AABC夕卜接圆半
