平面几何竞赛讲座(三)三角形的“五心”

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1、平面几何竞赛讲座（三）三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：I到三角形三边的距离相等.性质2：设I是⊿ABC内一点，AI所在直线交⊿ABC的外接圆于D，I为⊿ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC.性质3：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：∠BIC=900+∠A，∠AIC=900+∠B，∠AIB=90

2、0+∠C.性质4：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：⊿IBC、⊿IAC、⊿IAB的外心均在⊿ABC的外接圆上.性质5：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB边上的射影分别为D、E、F，内切圆的半径为r，令p=(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r，S⊿ABC=pr==；(2)r=；(3)abc·r=p·AI·BI·CI.性质6：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K，交⊿ABC的外接圆于D，则===.〖例1〗如图，设⊿ABC的外接圆O的半径

3、为R，内心为I，∠B=600，∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E，证明：(1)IO=AE,(2)2R

4、外心有以下常用的性质：性质1：⊿ABC所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.性质2：设O是⊿ABC所在平面内一点，则O为⊿ABC的外心的充要条件是：(1)∠BOC=2∠A，∠ACC=2∠B，∠AOB=2∠C.(2)OB=OC,且∠BOC=2∠A.性质3：R=或S⊿ABC=.〖例3〗如图，设AD是⊿ABC的∠BAC的平分线，O是⊿ABC的外心，01是⊿ABD的外接圆的圆心，02是⊿ADC的外接圆的圆心.求证：OO1=OO2.(1990高中联赛)3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.重心在三

5、角形内部.重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）.重心有以下常用的性质：性质1：设G是⊿ABC的重心，连AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，AD2=(AB2+AC2)-BC2,且AG:GD=2:1.性质2：设G是⊿ABC的重心，P为⊿ABC内任意一点，则(1)AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2；(2)AG2+BG2+CG2=(AB2+BC2+CA2).性质3：设G是⊿ABC内一点，G是⊿ABC的重心的充要条件是下列条件之一：(1)S⊿GBC=S⊿GCA=S⊿GA

6、B=S⊿ABC；(2)当AG、BG、CG的延长线交三边于D、E、F时，S⊿AFG=S⊿BDG=S⊿CEG.(3)当点G在三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F时，GD·GE·GF值最大；(4)过G的直线交AB于P，交AC于Q时，+=3；(5)BC2+3AG2=CA2+3GB2=AB2+3GC2.4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部.垂心有以下常用的性质：性质1：设H是⊿ABC的垂心，则∠BHC=∠B+∠C=1800-∠A，

7、∠CHA=∠C+∠A=1800-∠B，∠AHB=∠A+∠B=1800-∠C.性质2：设H是⊿ABC的垂心，则H、A、B、C四点中任意一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点组为一垂心组，且一垂心组的四个外接圆的圆心是另一垂心组，与原垂心组全等）。性质3：设⊿ABC有三条高线为AD、BE、CF。其中D、E、F分别为垂足，垂心为H，则对于A、B、C、H、D、E、F有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF.性质4：H是⊿ABC所在平面上一点，H是其垂心的充要条件是下列条件之一：(1)

8、H关于三边的对称点都在⊿ABC的外接圆上；(2)⊿ABC、⊿ABH、⊿BCH、⊿ACH的外接圆是等圆；OB=OC,且∠BOC=2∠A.(3)H关于三边中点的对称点都在⊿ABC的外接圆上；(4)∠HAB=∠HCB，∠HBC=∠HAC；(5)∠BAO=∠HAC，∠A