平面几何竞赛讲座

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1、平面几何中的著名定理1．梅涅劳斯定理：若一条直线和△ABC的三边BC、CA、AB分别交于D、E、F，则。其逆定理也成立。2．塞瓦定理：对于△ABC所在平面内一点O，AO、BO、CO（或其延长线）交三角形另一边于点D、E、F，则。其逆定理也成立。3．托勒密定理：圆内接四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积。其逆定理也成立。4．西姆松定理：以△ABC的外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或它们的延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线。其逆定理也成立。5．斯特瓦德定理：设P为△ABC的BC边上任一点，则有AB2·PC+AC2·BP=

2、AP2·BC+BP·PC·BC。例1如图，⊙O1和⊙O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证：直线PA与BC垂直。例2四边形ABCD的内切圆分别切AB、BC、CD、DA于点E、F、G、H。求证：HE、DB、GF三线共点。例3如图，锐角△ABC中，AD是BC边上的高，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F。求证：∠EDH=∠FDH。例4在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。例5如图，设C1、

3、C2是同心圆，C2的半径是C1的半径的2倍。四边形A1A2A3A4内接于C1，将A4A1延长交圆C2于B1，A1A2延长交圆C2于B2，A2A3延长交圆C2于B3，A3A4延长交圆C2于B4。试证四边形B1B2B3B4的周长≥2×四边形A1A2A3A4的周长，并确定等号成立的条件。例6设M、N是△ABC内部的两个点，且满足∠MAB=∠NAC，∠MBA=∠NBC。证明：例7如图所示，在直角△ABC的斜边BC上取一点D，使△ABD和△ACD的内切圆相等。求证：S△ABC=AD2。例8已知CE是△ABC的∠C的平分线，且CE2=AE·EB。求证：AE:AC=1:。例9

4、在△ABC中，AC>BC，其外接圆直径DE垂直AB于F，其中C和E在AB的同一侧，过C作CL⊥DE于L。求证：(AC+BC)2=4DL·EF。例10自△ABC的顶点A作∠B的内、外角平分线BE、BF的垂线，垂足为E、F，再作∠C的内、外角平分线CG、CF的垂线，垂足为G、D。求证：F、G、E、D四点共线。练习题1、如图，设P、Q为平行四边形ABCD的边AB、AD上的两点，△APQ的外接圆交对角线AC于R，求证：AP·AB+AQ·AD=AR·AC。2、O为△ABC所在平面上任一点，AO、BO、CO分别交边BC、CA、AB于点D、E、F。作EG//AD//FH，点G

5、、H均在直线BC上，求证：EH和FG的交点P在直线AD上。3、设△ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，且EF与BC的延长线交于X，FD与CA的延长线交于Y，DE与AB的延长线交于Z。求证：X、Y、Z三点共线。4、如图，在△ABC中，AB

6、边AB上任一点，求证：AP2+PB2=2CP2。7、证明：到三角形三顶点的距离的平方和最小的点是重心。8、设ABCD是一个圆内接四边形，点P、Q和R分别是D到直线BC、CA和AB的射影。证明：PQ=QR的充要条件是∠ABC=∠ADC的角平分线的交点在AC上。三角形的“五心”问题1．内心性质1设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+∠A。性质2设I为△ABC的内心，则S=pr，abcr=p·AI·BI·CI性质3三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其到内心的距离相等。反之，I在AK上且KI=KB，则I为△ABC的内心。性质4P为△ABC的内

7、切圆与边AB的切点，则AP=p-a=(b+c-a)。2．外心性质1设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A或360°-2∠A。性质2R=。性质3锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。3．重心性质1设AD为△ABC的中线，则AD2=(2AB2+2AC2-BC2)，且AG:GD=2:1。性质2若G为△ABC的重心，则S△ABG=S△ACG=S△BGC=S△ABC，反之亦然。性质3若G为△ABC的重心，则BC2+3AG2=CA2+3BG2=AB2+3CG2=(AB2+BC2+CA2)；AG2+BG2+CG2=(AB2+BC2+CA2)；AG2+

8、BG2+CG2最小。4．