数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题

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1、数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题第四讲四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路1　“四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△AB，以AB为直径的圆与AB边的高′及其延长线交于，N以A为直径的圆与A边的高BB′及其延长线将于P，Q求证：，N，P，Q四点共圆分析：设PQ，N交于点，连接AP，A欲证，N，P，Q四点共圆，须证•N＝P•Q，即证(′-′)(′+′)＝(PB′-B′)•(PB′+B′)或

2、′2-′2=PB′2-B′2①不难证明AP=A，从而有AB′2+PB′2=A′2+′2故′2-PB′2=AB′2-A′2=(A2-B′2)-(A2-′2)=′2-B′2②由②即得①，命题得证例2．A、B、三点共线，点在直线外，1，2，3分别为△AB，△B，△A的外心求证：，1，2，3四点共圆分析：作出图中各辅助线易证12垂直平分B，13垂直平分A观察△B及其外接圆，立得∠21=∠2B=∠B观察△A及其外接圆，立得∠31=∠3A=∠A由∠21=∠31，1，2，3共圆利用对角互补，也可证明，1，2，3四点共圆，请同学自证2　以“四点共圆”作为解题手段这种

3、情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面(1)证角相等例3．在梯形ABD中，AB∥D，AB＞D，，分别在AD，B上，∠DA＝∠B　　　求证：∠DA＝∠B分析：易知A，B，，四点共圆连接，有∠DAB＝∠∵∠DAB+∠AD＝180°，　　　∴∠+∠D＝180°　　　故，D，，四点共圆∠D＝∠D　　　但已证∠AB＝∠BA，　　　∴∠DA＝∠B(2)证线垂直例4．⊙过△AB顶点A，，且与AB，B交于，N(与N不同)△AB外接圆和△BN外接圆相交于B和求证：∠B=90°分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步其实，只要把握已知条和图形

4、特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的连接，，，，延长B到G易得∠G=∠BA=∠BN=∠B而∠=2•∠BA=∠G+∠B=180°-∠，∴∠+∠=180°，，，四点共圆在这个圆中，由==∠=∠但∠G=∠B，故∠B=90°(3)判断图形形状例．四边形ABD内接于圆，△BD，△AD，△ABD，△AB的内心依次记为IA，IB，I，ID试证：IAIBIID是矩形分析：连接AI，AID，BI，BID和DIB易得∠AIB=90°+∠ADB=90°+∠AB=∠AIDBA，B，ID，I四点共圆同理，A，D，IB，I四点共圆此时∠AIID=180°-∠AB

5、ID=180°-∠AB，∠AIIB=180°-∠ADIB=180°-∠AD，∴∠AIID+∠AIIB=360°-(∠AB+∠AD)=360°-×180°=270°故∠IBIID=90°同样可证IAIBIID其它三个内角皆为90°该四边形必为矩形(4)计算例6．正方形ABD的中心为，面积为1989㎝2P为正方形内一点，且∠PB=4°，PA:PB=:14则PB=__________分析：答案是PB=42㎝怎样得到的呢？连接A，B易知，P，A，B四点共圆，有∠APB=∠AB=90°故PA2+PB2=AB2=1989由于PA:PB=:14，可求PB()其他例

6、7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断)分析：设△EFG为正方形ABD的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上作正△EFG的高E，易知E，，G，D四点共圆∠DE=∠GE=60°同理，∠AE=60°故△AD也是一个正三角形，必为一个定点又正三角形面积取决于它的边长，当F丄AB时，边长为1，这时边长最小，而面积S=也最小当F通过B点时，边长为2•，这时边长最大，面积S=2-3也最大例8．NS是

7、⊙的直径，弦AB丄NS于，P为ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，P的延长线交⊙于Q求证：RS＞Q分析：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交⊙于Q′连接Q′，SQ′易证N，，R，P四点共圆，从而，∠SNQ′=∠NR=∠PR=∠SPQ=∠SNQ根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称Q′=Q又易证，S，Q′，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(∠RS=90°)，Q′是一条弦(∠SQ′＜90°)，故RS＞Q′但Q=Q′，所以，RS＞Q练习题1⊙1交⊙2于A，B两点，射线1A交⊙2于点，射线2A交⊙1于D点求证：点A是△BD的内心(提示：设法证明，

8、D，1，B四点共圆，再证，D，B，2四点共圆，从而知，D，1，B，2五点共圆)2△AB为不等边三角形∠A及其