高二数学竞赛班二试平面几何讲义第八讲三角形的五心(二)1

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1、高二数学竞赛班二试平面几何讲义第八讲三角形的五心（二）班级姓名一、知识要点:1.垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的屮点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。AABC的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是MBC的外接圆半径的丄。2证明：AA3C的九点圆与AABC的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似屮心。位似比均为l:2o3.欧拉线

2、：MBC的垂心重ll'G,夕卜心0三点共线。此线称为欧拉线,且有关系：HG=2G0二、例题精析：例1.设人淤2人泌4为00内接四边形，H,日4依次为△A7A3A4,△A3A4A1，△人必小2，AA1A2A3的垂心.求证：H},H2,Hy乩四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.（1992,全国高屮联赛）例2・如图，△ABC屮，。为外心，三条高AD.BE、CF交于点H,肓线肋和力3交于点M,FD和AC交于点N.求证：(1)0B丄DF,0C丄DE.(2)OHLMN.例3•锐角△ABC中，O,G,H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心

3、到三边距离和为d玉，垂心到三边距离和为d垂.求证：l・d垂+2・d外=3・dgt.例4・H为、ABC的垂心，D,E,F分别是BC,CA,A3的中心.一个以H为圆心的交肓线EF,FD,DETA[f血，Bi，B2,G，C2.求证：/lAj=/1/12=BB!=BB2=CCj=CC2.(1989,加拿人数学奥林匹克训练题)AABAi三、精选习题：1./XABC中ZCV90。，从AB_LM点作CA,CB的垂线MP,MQ.H是△CPQ的垂心.当M是上动点时，求H的轨迹.（/M0-7）2.锐角△A3C的垂心关于三边的对称点分别是M，也，弘•已知：Hi，他

4、，H»求作△4BC.（第7届莫斯科数学奥林匹克）3.AAfiC中ZC=30。，0是外心，/是内心，边AC上的D点与边BC上的£点使得AD=BE=AB.求证：01丄DE,OI=DE.（1988,'I'国数学奥林匹克集训题）DEB1.设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC,CD=DE,EF=FAO试证：（1）AD,BE,CF三条对角线交于一点；（2）AB+BC+CD+DE+EF+FAAAD+BE+CF.（1991,国家教委数学试验班招生试题）四、拓展提高：2.如图，在锐角ZVIBC屮，AB

5、作PE丄4C,垂足为E,做PF丄AB,垂足为F。0、①分别是ACDE的外心。求证：01、①、E、F四点共圆的充要条件为P是/XABC的垂心。2-OD30分高二数学竞赛班二试平面几何讲义第八讲三角形的五心（二）例1・分析：连接仏乩，A%HH2,记圆半径为/?・由△人24泌4知!=2R=>去乩二2RcosZA⑷幻;sinZA2A3H,~由△414^4得A]//2=2/?COSZA3A1A4.但ZA3A2A4=ZA3AiA49故A2H1=AiH2.易证A2Hi//A1A2f于是，A2H1//A^故得HiH2042肛设HSi与H么2的交点为M,故H

6、.H2与人冷关于M点成中心对称】同理，H03与A2A3,H3H4与4狙4,也也与A41都关于M点成屮心对称.故四边形HE2H3H4与四边形A]A2^3^4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H、,也，血,仏在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与0也关于M成中心对称.由O,M两点,Q点就不难确定了.例2.【证明】（1）TA,C,D,F四点共圆，:.ZBDF=ZBAC・乂IZ0BC=L（180°-ZBOC）=90°-ABAC,2：.OBLDF・同理OC丄DE.10分(2)VCFLMA,:.MC2-MH2=AC2-AH2.①・."BE丄NA,:.n

7、b2-nh2=ab2-ah2.……②・.・D4丄BC,:.BD2-CD2=BA2-AC2.……③•.・03丄DF,:.BN2~BD2=ON--OD1.……④TOC丄DE,:.CM2-CD2=om⑤①-②+③+④-⑤,得NH2-MH2=0N2-OM2.MO-~MH2=NO~-NH2.所以OH丄MM50分另证：以BC所在直线为x轴，。为原点建立直角坐标系,设A(0,q),B®,0),C(c,0),贝【JkAC=-~,kAB=-~cb・・・直线AC的方程为y=--(x-c),直线BE的方程为y=-(x-h)cay=—(X—")2丄人22»a得E点坐

8、标为E(Q严，)y=-—(x-c)c同理可得a+/rer+ca+c2ab-abc、~)er+b直线AC的垂直平分线方程为y--=-(x--)2a2直线BC的垂直平分