高二数学竞赛班二试平面几何讲义

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1、高二数学竞赛班二试平面几何讲义第三讲点共线班级姓名一、知识要点：点共线的通常证明方法是：1.通过邻补角关系证明三点共线；2.证明两点的连线必过第三点；3.证明三点组成的三角形面积为零等。4.应用梅涅劳斯定理的逆定理。5.应用西姆松定理。注：n(n≥4)点共线可转化为三点共线。二、例题精析：例1.如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。6例2.如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。三、

2、精选习题：1.四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。62.以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。6四、拓展提高：3．如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点。若，证明：6高二数学竞赛班二试平面几何讲义第三讲点共线例1.如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共

3、线。证连AK，DG，HB。由题意，ADECKG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AKDG。同样可证AKHB。四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分。而C是AB中点，线段KH过C点，故K，C，H三点共线。例2.如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。证如图，连AC，DF，DE。因为M在O上，则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB，有△AMC∽△ACF，得。又因为∠AMC=BAC，所以△AMC∽△EAC，得。所以，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽△ADE。所

4、以∠ADE=∠DFB。因为AD∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，于是F，E，D三点共线。法2完全四边形性质1.四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。证如图。连接PQ，并在PQ上取一点M，使得B，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。易如QE2=QM·QP=QC·QB①6∠PMC=∠ABC=∠PDQ。从而C，D，Q，M四点共圆，于是PM·PQ=PC·PD②由①，②得PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB

5、，即PQ2=QC·QB+PC·PD。易知PD·PC=PE’·PF，又QF2=QC·QB，有PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2，即PE’·PF=PQ2-QF2。又PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF)=PF·(PG－GF)，从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。所以P，E，F三点共线。法2定差幂线定理2.以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。证如图，连AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF，延长F

6、C交BE于G。易如OA丄AP，OB丄BP，OF丄CP，所以P，A，F，O，B五点共圆，有∠AFP=∠AOP=∠POB=∠PFB。又因CD∥BE，所以有∠PFB=∠FBE，∠EFD=∠FEB，而FOG为BE的垂直平分线，故EF=FB，∠FEB=∠EBF，所以∠AFP=∠EFD，A，F，E三点共线。3．证明：延长线段与圆交于另一点，则，又为线段的中点，故，从而又，所以∽，于是，即从而有即，又，所以∽，所以延长线段与圆交于另一点，则，故，又因为为线段的中点，所以，又，所以。法2陪位中线6