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时间:2018-11-07
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1、高二数学竞赛班二试讲义第8讲几个特殊的不定方程班级姓名一、知识要点:1.勾股数方程定义形如的方程叫做勾股数方程,这里为正整数,并称满足条件的解为方程基本解。定理勾股数方程满足条件且的一切基本解可以表示为:,其中为正整数,且一奇一偶,。2.不定方程这个四元方程也有不少用处,其全部正整数解极易求出。设,则,,则3.中国剩余定理设是两两互质的正整数,记,,则同余方程组有且仅有一组解,其中,,。4.佩尔(Pell)方程定义设,且不是完全平方数,则形如的方程叫做佩尔方程定理1如果是使最小的方程的解(称为最小解),则也是方程的一组解每个解都可以取幂得到。下表是
2、佩尔方程,且不是完全平方数的最小解235678101112131415171819329583191076491543317170214231632180118439定理2如果是使最小的方程的解(称为最小解),则也是方程的一组解每个解都可以取幂得到。65.方程方程可能有解也可能无解,如果有正整数解时,它一定有无穷多组解。证明:设是方程的解,是的任一组解,那么因此,是方程的解。由于方程有无穷多组解,所以这时方程也有无穷多组解。二、例题精析例1.在直角坐标平面上,以为圆心,求以为半径的圆周上整点的个数。例2.设为正整数,。证明:不是素数。6例3.证明:
3、有无穷多个正整数,使得为完全平方数例4.(第30届IMO试题)设为任意的正整数。证明:一定存在个连续的正整数解,使其中任何一个都不是质数的整数幂。6三、精选习题1.证明:存在无穷多对正整数,使得(第26届IMO预选题)2.设,若元正整数集合满足:对任何整数,都存在,,使得与是不互质的数,就称为“好集”.证明:若为“好集”,且中所有元素之和为,则存在,使得从中删去元素后,所得到的集仍为“好集”.6高二数学竞赛班二试讲义第8讲几个特殊的不定方程例1.设为圆周上任一整点,则方程为:。显然为方程的四组解;当时,(因为是素数),则是一组勾股数,故可以表示为两
4、个正整数的平方和,设,由于,所以方程无整数解。例2.由可设,其中为正整数不是素数例3.设,则,设,则即,因为佩尔方程有无穷多组解取,也有无穷多组解。例4.取个两两不同的质数和。对于同余方程组,由于两两互质,根据孙子定理知同余方程组必有解,取为正整数,则个连续正整数都至少含有两个不同的质因数,因而它们中的任一个都不是质数的整数幂。例1.已知等式可化为,令,得佩尔方程,有基本解,从而原方程有无穷多组解。2.证:如果与不互质,则有质数因子,于是,现在设,中的元素两两之差的所有可能的质因子构成集合;假若对于每个,都存在一个剩余,使得在集合中至多只有一个数关
5、于模与同余,(即是说,存在模的某个剩余类,其中至多含有中的一个元素).由孙子定理,同余组有解,满足:,而利用题中条件可得,对于这个,存在某对和某个,使得整除与,由得,即关于模皆与同余,也即两数属于模的同一个剩余类,这与的假设矛盾!由此可以断定,存在,关于模的每个剩余类,都至少含有集的两个元素;又假若对于模的每个剩余类,都恰好含有集的两个元素,则中恰有个元素,分别为和的元素各一对,其中为非负整数,而通过,于是的元素和为,如此有,而为质数,矛盾!因此,必存在的某个剩余类,含有集的至少个元素,今从6中删去这样的一个元素,所得到的集仍为“好集”.6
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