高二数学竞赛班二试平面几何讲义.第十讲几何不等式doc3

《高二数学竞赛班二试平面几何讲义.第十讲几何不等式doc3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲几何不等式班级姓名一、知识要点：1．Ptolemy（托勒密）不等式　若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC≥AC×BD。等号成立时A,B,C,D四点共圆　　2．Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则x+y+z≥2*(p+q+r)　　证明：因为P,E,A,F四点共圆，PA为直径，则有:EF=PA*sinA。　　在ΔPEF中，据余弦定理得:EF^

2、2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)　　=(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2，　　所以PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，即PA=x≥q*(sinC/sinA)+r*(sinB/sinA)(1)。同理可得:PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB)(2)，PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC)(3)。由(1)+(2)+(3)得:x+y+z≥p*(

3、sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(sinC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命题成立。3．Weitzenberk（外森比克）不等式：若为三角形三边长，是三角形面积,则：。等号成立当且仅当为等边三角形。　　证明：只需证明，只需证明，，成立。4．Euler（欧拉）不等式设ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r，当且仅当ABC为正三角形时取等号。　　5．等周定理（等周不等式）　　①周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的

4、周长最小。②周长一定的所有n边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正n边形的周长最小。6．Fermat（费马）问题到三角形的三个顶点的距离之和最短的点叫做费尔马点。对于一个顶角不超过的三角形，费尔马点是对各边的张角都是的点。对于一个顶角超过的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。二、例题精析：例1.如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60°,∠A<∠C，∠A的外角平分线交圆O于E．证明：(1)IO=AE；(2)2R

5、于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，AB´CR+BC´AP=AC´BQ；(2)l与圆O相交时，AB´CR+BC´AP＜AC´BQ；(3)l与圆O相离时，AB´CR+BC´AP＞AC´BQ.例3.如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：>．三、精选习题：1．如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，证明：S

6、△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于(SXY…Z表示多边形XY…Z的面积)．2．设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于．3．在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PC∙QE+PD∙QF2．四、拓展提高：4．设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有ÐD是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不

7、含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4．5．已知边长为4的正三角形ABC．D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且

8、AE

9、=

10、BF

11、=

12、CD

13、=1，连结AD、BE、CF，交成△RQS．点P在△RQS内及边上移动，点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z．(1)求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值；(2)求上述乘积xyz的极小值．高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲几何不等式例1.如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．证明:(1)

14、IO=AE；(2)2R