高中二年级数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲_几何不等式.doc

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1、专业.专注高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲几何不等式班级姓名一、知识要点：1．Ptolemy（托勒密）不等式　若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC≥AC×BD。等号成立时A,B,C,D四点共圆　　2．Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则x+y+z≥2*(p+q+r)　　证明：因为P,E,A,F四点共圆，PA为直径，则有:EF=PA*sinA。　　在ΔPEF中，据余弦定理得:EF^2=q^2

2、+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)　　=(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2，　　所以PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，即PA=x≥q*(sinC/sinA)+r*(sinB/sinA)(1)。同理可得:PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB)(2)，PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC)(3)。由(1)+(2)+(3)得:x+y+z≥p*(sinB/sinC+sinC/

3、sinB)+q*(sinC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命题成立。3．Weitzenberk（外森比克）不等式：若为三角形三边长，是三角形面积,则：。等号成立当且仅当为等边三角形。　　证明：只需证明，只需证明，，成立。4．Euler（欧拉）不等式设ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r，当且仅当ABC为正三角形时取等号。　　.学习参考.专业.专注5．等周定理（等周不等式）　　①周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。②周长一定的所有n

4、边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正n边形的周长最小。6．Fermat（费马）问题到三角形的三个顶点的距离之和最短的点叫做费尔马点。对于一个顶角不超过的三角形，费尔马点是对各边的张角都是的点。对于一个顶角超过的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。二、例题精析：例1.如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60°,∠A<∠C，∠A的外角平分线交圆O于E．证明：(1)IO=AE；(2)2R

5、,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，AB´CR+BC´AP=AC´BQ；(2)l与圆O相交时，AB´CR+BC´AP＜AC´BQ；(3)l与圆O相离时，AB´CR+BC´AP＞AC´BQ..学习参考.专业.专注例3.如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：>．三、精选习题：1．如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，证明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个

6、不小于(SXY…Z表示多边形XY…Z的面积)．.学习参考.专业.专注2．设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于．3．在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PC∙QE+PD∙QF2．.学习参考.专业.专注四、拓展提高：4．设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有ÐD是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶

7、点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4．.学习参考.专业.专注5．已知边长为4的正三角形ABC．D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且

8、AE

9、=

10、BF

11、=

12、CD

13、=1，连结AD、BE、CF，交成△RQS．点P在△RQS内及边上移动，点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z．(1)求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值；(2)求上述乘积xyz的极小值．高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲几何不等式例1.如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．证明:(1)IO=AE；(2)2

14、R