资源描述：
《高等数学典型例题详解第二章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例1设/（兀）在兀。处可导，求Iim/（X°+X）~/（%O~3X）.分析所求极限与广（观）的定义式子很相似，则由广（观）的定义即可求解.解lim/（勺+兀）—二3x）=lim［/（兀0+兀）—/'（X。）］+If（观）一/（勺二3x）］wtO兀xtO兀二lim/（兀（）+兀）-/（忌）+引im/（无0-3兀）-/（兀0）2°x5一3兀=广（兀）+3广（心）=4广（珀））.错误解答令x{)-3x=t,则兀°=3尤+f,lim/(A04-x)-/(A0-3x)二lim®+4x)-m)二4lim广⑴(
2、1)xtO兀a->0兀a->0=4lim/z(x0-3x)=4f(x0).(2)戈t()错解分析式（1）用到/（兀）在点/的导数；式（2）用到•广（兀）在点如连续.但是题冃只是给HI/W在无处可导的条件，而.f（Q在X。的邻域内是否可导以及广⑴在如处是否连续都耒知.所以上述做法中的式（1）与式（2）有对能不成立.例2设f（x）=（p{a+bx）-（p（a-bx）,其中炉（兀）在（-oo,+oo）上有定义JI在点d处可导.试求广（0）•分析求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然
3、后求导函数在该点的函数值，但在本题中函数/（兀）的可导性未知，故只能用定义来求.解当什0吋，怙・心）7（°）=］曲必+阴一恥一阴2°x-02°x_lim⑷⑺+-恥）］-WS-bx）-卩⑷］xtOX=blim。（"-恥）+blim曲-bxSx->obxio-bx=b（pXa）4-b（pd）-2b（pa）.所以/ ）=2b（pa）.当方=0时,/（x）=0,广（0）=0.综上所述，广（0）二2如⑷.例3设函数f（x）=（x-a）2（p（x）,其中卩（兀）的一阶导函数有界.求厂⑷•分析求函数在某
4、一点的二阶导数可以用导数的定义來求，但必须先求出一阶导数；也可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题小函数广（对的可导性未知，故只能用定义來求.解由于f(x)=2(x-a)(p{x)4-(x-a)2(px),则有f⑷=0.乂lim广⑴二广⑺5x-a2(兀一G)0(x)+(X—d)20(x)•zx-a=lim[20(兀)+(x一d)(px)]=2(p(a),XT“所以fd)=2(p(a)・错误解答因为fx)=2(x一a)(p(x)+(x-a)2(px),fn(x)=2(
5、p(x)+2(x-a)(px)4-2(x-a)0(兀)+(兀一^)2(pn(x),所以fa)=2(p(a).错解分析此解法错误的根源在于廡兀)的一阶导函数有界并不能保证仅兀)二阶可导.而上述求解却要用到於(兀).注此题用到如下结论：a.有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；b.可导必连续.例4设/(兀)的一阶导数在"G处连续且广H)=l,则().XTOXA./V)在x=a处的一阶导数不存在.B.lim/"(兀+。)一定存在..V—>0C.fa)=1.D.f(a)=2.解因为lim'(兀+d)=],
6、所以lim广(x+a)=0,由于/'(兀)在x=a处连续，故xtOx*tO•广⑷=0•又因为]im/心+d)—广⑺=lim/心+°)=1,所以fa)=1.选C・5(x+a)-a5x例5设/(对在兀=0的某个邻域内有定义，兀、)，为该邻域内任意两点且/(x)满足条件：⑴/(x+y)=/(x)4-f(y)+1；⑵广(0)=1・试证在上述邻域内fM=1.分析此处无法用求导公式和求导法则证明f(x)=1.由于/(对的表达式未给出，故只能考虑从定义出发.如果用条件(2),则需先求出/(0).证明因为/(兀
7、)在兀=0的某个邻域内有定义，记该邻域为E,贝I」对任意八ygE,W/(x+y)=/(x)+/(y)+l•令y=0,则/(0)=-l.于是对任意xwE,当兀+AxwE及ZE时，考虑下列极限lim/(兀+心)-/(兀)二Um[/(劝+/(心)+1]-/(力山toAx山toAx=limZ^Wzl)s->()Ax訥心7(°)ztoAx二广(0)=1,故f(兀)=1，xeE.例6(04研)设函数/(兀)连续，H.f(0)>0,贝lj存在/>0,使得().A./(x)在(0,5)内单调增加.B./(x)在(
8、-厶0)内单调减少.C.对任意的xw(0,5)/(O).解由导数定义知D.对任意的xg(-^,O)Wf(x)>/(O).广(0)=1恕/(x)-/(0)x—0>0.根据极限的保号性，知存在(S〉0,当从(_/,O)U(O,(S)吋，有加7(°)〉0・X因此当XW(-5,0)时，有/(x)/(0),故选C.注函数/(X)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论.例7设不
