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《16第十六讲等比数列的性质及应用讲义文库》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第16讲等比数列的性质及应用讲义◎高考要求本讲主要涉及等比数列的定义、通项公式、中项公式、前/I项和公式及有关的基本性质与基本运算.◎考向指南等差、等比数列的概念及公式的运算是全章的基础，中学所学的数列知识，都是能将其转化为最基本的等差、等比数列为高考必考.◎考基要点1、等比数列定义一般地，如果一个数列从笫2项起，每一项与它的前一•项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，用符号语言表示为=qan通项公式an=5严公比公式qn~x=5aq等比屮项如果在d与b中间插入一个数G,使ci,G
2、,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=±J亦，G2=ab前H项积公式n”(”一1)Tt=(a{a,y=a；q2性质1与首末两项等距的两项的积相等,即a｛an=a2an_｛=a3an_2=…2若m,n.kjeN,Hm+n=k^l,贝0am-an=ak^at3等比数列从第2项起(有穷数列不包括末项)每一项为前一项与后--项的等比中项，即仏｝为等比数列Oan+；=altan+24奇数项同号，偶数项同号5｛色｝为等比数列o色为〃的指数类函数或零次函数，即=ABn或色(bHO)6nnnTn=(axan)2=(a
3、2an_x)2=(a3an_2)2=•••,特别地,当〃为奇数时,Tn=<+1=碍27仏｝为等比数列，公比为g,税｝为等差数列，公差为d,bfleN则仏」为等比数列，公比为8｛色｝为等比数列，则其询k项积、后k项积成等比数列，公比为q"2、等比数列的几个重要结论等比数列｛©｝的前斤项积为7；,则n（n-V）（1）Tn=a'q2:it（2）Tn=｛axanY；（3）当〃为奇数时,Tn=（aH+l为中间项）3、等比数列的前斤项和前力项和公式S”=节滋（g丰1）〈心“〉S”=吗¥一"）（少1）-q-q当g=1时，
4、Sn-na｝性质1非常数列仏｝为等比数列oS”为斤的指数类函数，即S”=ABn-A2｛陽｝为等比数列,则其前R项和（Sj,中R项和0k-SJ、后比项和（53,-S2J成等比数列，公比为/温馨提示：1、等差（比）数列的通项公式与前〃项和公式联系着五个基本量q、d（或q）、n.%、S”.“知三求二”是一类最基本的运算题.方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法.2、判断-•个数列是等差数列或等比数列，常用的方法是这两类数列的定义.特别地，在判断三个实数b、c成等差（比）数列时，常用a+c=2b（%=，）.3、在已知
5、三个数成等差（比）数列吋，可设这三个数依次为a,d+d,a+2d（或a,aq.aq1）,也门J设为a_d,a,a+d（或纟，a,aq）；四个数成等差（比）数列，q可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d（或丄，—,aq,aq'）.qq4、在求等差数列前〃项和的最人（小）值时，常利卅函数的思想和方法加以解决.四、典型例题及其解法方法一：典型问题例1、三个数成等差数列，其比为3:4:5,如果最小数加上1,则三数成等比数列,那么原三数是什么？例2、设数列｛an｝的首项a】=a工£仇=如一1一*，=123,・・・（1）求
6、，°3；（2）判断数列｛仇｝是否为等比数列，并证明你的结论.例3、己知数列｛%｝满足0严1,%严2%+1（庇N*）（1）求数列血｝的通项公式；（2）若数列｛乞｝满足4/?'-1x4"2-1x4^-*x•••x=（afl+1）^（hgTV*）,证叨尙｝是等差数列.方法二：等比数列问题的求解策略(1)等比数列基木量的计算例4、等比数列也讣中,S”为前〃项和，若S3+S6=2S9,求q的值.(2)等比数列的性质的应川例5、等比数列&”｝中，若+a24-a3=7,axa2a3=8,求％.(3)等比数列的综合应用例6、已知
7、递增的等比数列｛色｝前三项Z积为512,且这三项分别减去1,3,9后乂成等差数列，求数列的前n项和S”.方法三：等比数列的求和问题例7、求和1+2x+3x~+4%3+…nxn".例8、求和：(cz-l)+(6f2-!)+•••+(6fn例9、一个有穷等比数列的首项是1,项数为偶数，如果奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.例10、以数列仏｝的项为系数的一元二次方程an_｝x2-anx+l=0(n=2,3,4…)有根％、0”,且3an-anpn+30〃=1.令bn_｛=an-%.(1)求证：｛
8、仇｝为等比数列.(2)求lima”.HT8例11、数列仏｝的前料项和记为S”I2已知d]=1,an+l=S“(n=1,2,3,…)n证明：(1)数列是等比数列;(2)S”+]=.◎点击禹考1、已知｛勺｝是等差数列.(1)ijiJ四项和为21,末四项和为67,J1各项和为286,求项数；(2)Sn=20,S2n=38,求S3n；(3)若两个等差数列的前〃项的和之比是(7m+
