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1、3.4等差、等比数列的性质及应用一、基础知识(一)等差数列的性质(4)在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,…,为等差数列，公差为md。(5)等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…为等差数列，公差为n2d。(6)若等差数列的项数为2n，则有,(7)等差数列的项数为奇数2n-1，则，,。(8)通项公式是an=An+B是一次函数的形式；前n项和公式是不含常数项的二次函数的形式。（注当d=0时，Sn=na1,an=a1）(
2、9)若a1>0，d<0，Sn有最大值，可由不等式组来确定n。若a1<0，d>0，Sn有最小值，可由不等式组来确定。(也可利用利用二次函数图象配方来解)（二）等比数列的性质;.（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+m,an+2m,…,为等比数列，公比为qm。（5）等比数列的前n项和也构成一个等比数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…为等比数列，公比为qn。(6)对于一个确定的等比数列，在通项公式中，an是n的函数，这个函数由正比例函数复合而成的。当当当q=1时
3、，是一个常数数列当q<0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列。二、举例解析例1[P91考例1]、（1）设是等差数列，且，求及S15值。（2）等比数列中，，，前n项和Sn=126，求n和公比q。（3）等比数列中，q=2，S99=77，求a3+a6+…+a99；（4）项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。解：（1）由已知可得,所以=2，S15=,所以或又,所以或设等差数列共2n-1项,则,所以此数列共31项.中间项练习:(1)等比数列{an}中,已知
4、S10=10,S20=30,求S30,(S30=70)例2、设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，（1）求公差d的取值范围。（2）指出S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由。解：（1），，即，由,代入得：。（2）解一：由，可知：，所以S6最大。解二、，由可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S6最大。解三、，由得又抛物线开口向下，所以S6最大。评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助
5、等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）练习：已知等差数列{an}中，，问S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大。(S8或S9)例3(P93考例题4)设各项均为正数的数列和满足:成等比数列,成等差数列,且求通项解:成等比数列, ①又成等差数列 ②由②及 ③④将③④代入①可得数列为等差数列．又当n=1时也成立,.例4．已知{an}是等比数列，a1=2,a3=18,{bn}是等差数列，b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.(1)求数列{bn}的
6、通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn的公式；（3）设Pn=b1+b4+b7+……+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+……+b2n+8，其中n=1,2,…..,试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论。解（1），当q=-3时，a1+a2+a3=14<20,故舍去,当q=3时，a1+a2+a3=26>20符合.由b1+b2+b3+b4=26及b1=2,可得d=3,所以bn=3n-1(2)Sn=(3)b1、b4、b7、……、b3n-2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn=；b10+b12+
7、b14+……+b2n+8组成以2d为公差的等差数列，所以Qn=3n2+26n,Pn-Qn=,所以，对于正整数n,当例5．已知等到差数列{an}的首项a1=1,公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项。（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对任意正整数n均有成立，其中m是不等到于0的常数，求数列{cn}的前n项和Sn.解：（Ⅰ）由题意得：(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2．整理得2a1d=d2．∵a1=1，解得d=2（d
8、=0不合题意舍去），∴an=2n–1(n=1，2，3，…)，由b2=a2=3，b3=a5=9，易求bn=3n–1(n=1，2，3，…)．（5分）（Ⅱ）当n=1时，c1=6；当n≥2时，，∴cn=(4n+1)mn–1bn=(4n+1)(3m)n–1．∴cn=当3m=1即m=时，Sn=6+9+13+…+(4n+1)=6+=6+(n–1)(2n+5)=2n2+3n+1．（10分）当3m≠1即m≠时，Sn=c1+c2+…+cn即Sn=6+9·(3m)+13·(3m)2+…+(4n–3)(3
