探究二次函数最值问题

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1、探究二次函数最值问题1.(，15安顺14分)如图，抛物线y=ax2+bx+-与直线AB交于点A(-1,0)、B(4,-).22点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点(不与点A,B重合)，直线CD与y轴平行，交肓线AB于点C,连接AD、BD.(1)求抛物线的解析式；(2)设点D的横处标为m,AADB的而积为S,求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标.第1题图【思路分析】(1)将抛物线上两点A、B的坐标分别代入抛物线解析式列方程纽•求解即可.(2)先根据直线过A、B两点列方程并求出直线解析式，再用m表示出

2、C、D两点坐标得线段CD的长，由图可知，S=SAACD+SABCD,根据三介形面积公式可得S关于m的二次函数，利用余弦法求出S最大时m的值即可计算此时C点的处标.解：(1)山题意得"

3、=0解得・・・y—非+2x+*-k+b=0(2)设直线AB为y=kx+b,则有＜4k+b=-解得则D(m,-—m2+2m+—),C(m,22—m+—),22CD=(-丄m2+2m+—)一22：.S=-(m+l)・CD+-99=丄X5XCD=-X5X22Va=--<0,4z11、123o(—m+—)=一一m+—m+厶2222(4-m)•CD(

4、-丄治人+2)=_2m2+15m+5；2244•••抛物线开口向下.故当m=—时,S有最大值,2业3心11131占m=—时，—m+—=—X—+—22222235•:点C(—,—).3当s取最大值时的点c坐标为q24丄)・42•如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)屮的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得AQAC的周长最小？若存在，求岀Q点的处标;若不存在，请说明理由;(3)在(1)中的抛物线上的第二彖限上是否存在一点P,(

5、4)使APBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及APBC的面积最大值；若没有，诘说明理由.解:(1)将A(1,0)、B(-3,0)代入y二-x'+bx+c中,得-1+b+c二0,-9-3b+c=0,b——2,c—3,・••抛物线解析式为:y=-x-2x+3.(2)存在；理由如下：由题意知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，・・.肓线BC与x二-1的交点即为Q点，此时AAQC周长最小，Vy=-x2-2x+3,AC的坐标为：(0,3),A直线BC解析式为y二x+3.「•Q点坐标即为x=-l,y=x+3的解，解得x=-

6、l,y=2,・・・Q(-1,2).(3)存在.理由如下：VB(-3,0),C(0,3),•I水平宽a=xc-Xb=0-(-3)=3,设卩点(x,/-2x+3)且-3

7、-x2-2x+3=—,243IS・••点P坐标为.243.('15德州12分)已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(a,0)、B(B,0),且丄+丄=-2.a0(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴为1,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于1的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形(保留作图痕迹)，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由;(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.解：(1

8、)由题意可得：a、B是方程-mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，4a+B二一，a0=一2,m・・•丄+丄二-2,・・・乞辺=-2,即如“2,a(3af3-2解得m二1,故抛物线解析式为y=-x~+4x+2；(2)存在x轴上的点M,y轴上的点N,使得四边形DNME的周长最小,*.*y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,・••抛物线的对称轴1为x=2,顶点D的坐标为(2,6),又・・•抛物线与y轴交点C的坐标为(0,2),点E与点C关于1对称，・・・E点坐标为:(4,2),作点D关于y轴的对称点1T，点E

9、关于x轴的对称点E，,则D'的坐标为(-2,6),E'坐标为：(4,-2),连接D‘E，,交x轴于M,交y轴于N,此时,四边形DNME的周长最小为:D‘E‘+DE,如解图①所示：延长E‘E,D，D交于一点F,在RtAD^EzF中，D‘F=6,EzF=8,则D，E，=a/62+82=10,设对称轴1与CE交于点G,在R