探究二次函数中的面积最值问题

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1、华章文化《火线100天》word版题型专项(九)　函数与几何图形综合(广西压轴题)类型1　探究线段的数量关系及最值问题　　　　　　　　　　　　　　　1．(2014·玉林)给定直线l：y＝kx，抛物线C：y＝ax2＋bx＋1.(1)当b＝1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；(2)若把直线l向上平移k2＋1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y＝2交于点Q，O为原点．求证：O

2、P＝PQ.解：(1)∵l：y＝kx，C：y＝ax2＋bx＋1，当b＝1时有A，B两交点，∴A，B两点的横坐标满足kx＝ax2＋x＋1，即ax2＋(1－k)x＋1＝0.∵B与A关于原点对称，∴0＝xA＋xB＝，∴k＝1.∵y＝ax2＋x＋1＝a(x＋)2＋1－，∴顶点(－，1－)在y＝x上，∴－＝1－，解得a＝－.(2)①∵无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点，∴k＝1时，k＝2时，直线r与抛物线C都只有一个交点．当k＝1时，r：y＝x＋2.∴代入C：y＝ax2＋bx＋1中，有ax2＋(b－1)x－1＝0.∵Δ＝

3、(b－1)2＋4a＝0，∴(b－1)2＋4a＝0.当k＝2时，r：y＝2x＋5，∴代入C：y＝ax2＋bx＋1中，有ax2＋(b－2)x－4＝0，∵Δ＝(b－2)2＋16a＝0，∴(b－2)2＋16a＝0，∴联立得关于a，b的方程组解得或∵r：y＝kx＋k2＋1代入C：y＝ax2＋bx＋1，得ax2＋(b－k)x－k2＝0，∴Δ＝(b－k)2＋4ak2.当时，Δ＝(－k)2＋4·(－)k2＝k2－k2＝0，故无论k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．当时，Δ＝(－k)2＋4·(－)k2＝k2－k＋，显然随k值的变化，Δ不恒

4、为0，∴不合题意，舍去．∴C：y＝－x2＋1.②证明：根据题意，画出图象，如图．www.sjhzhb.com（编辑部）027-62430031华章文化《火线100天》word版由P在抛物线y＝－x2＋1上，设P坐标为(x，－x2＋1)，连接OP，过点P作PQ⊥直线y＝2于点Q，作PD⊥x轴于点D，∵PD＝

5、－x2＋1

6、，OD＝

7、x

8、，∴OP＝＝＝＝x2＋1，PQ＝2－yP＝2－(－x2＋1)＝x2＋1，∴OP＝PQ.2．(2016·淄博)已知点M是二次函数y＝ax2(a＞0)图象上的一点，点F的坐标为(0，)，直角坐标系中的坐

9、标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为.(1)求a的值；(2)当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；(3)当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF＝MN＋OF.解：(1)∵圆心Q的纵坐标为，∴设Q(m，)，F(0，)．∵QO＝QF，∴m2＋()2＝m2＋(－)2.∴a＝1.(2)∵M在抛物线上，设M(t，t2)，Q(m，)，∵O，Q，M在同一直线上，∴kOM＝kOQ.∴＝.∴m＝.∵QO＝QM，∴m2＋()2＝(m－t)2＋(－t2)2，整理得－t2＋t4＋t2－2mt＝0.∴4

10、t4＋3t2－1＝0.∴(t2＋1)(4t2－1)＝0.∴t1＝，t2＝－.www.sjhzhb.com（编辑部）027-62430031华章文化《火线100天》word版当t1＝时，m1＝；当t2＝－时，m2＝－.∴M1(，)，Q1(，)；M2(－，)，Q2(－，)．(3)设M(n，n2)(n＞0)，∴N(n，0)，F(0，)．∴MF＝＝＝n2＋，MN＋OF＝n2＋.∴MF＝MN＋OF.类型2　探究与角度有关的问题　　　3．(2016·贵港)如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)

11、，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠CAE，若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)将A(－5，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－5中，得解得∴y＝x2＋x－5.(2)当x＝0时，y＝－5，∴C(0，－5)，OC＝5.∵A(－5，0)，B(3，0)．∴AB＝8.∴S△ABC＝AB·OC＝20.设点E到AB的距离为h，则×8·h＝20，∴h＝5.∵点E在x轴

12、下方，∴E点纵坐标为－5.当y＝－5时，x2＋x－5＝－5，∴x1＝－2，x2＝0(与点C重合，舍)．∴E(－2，－5)．(3)存在点P，使∠EAC＝∠PAB.设P(a，a2＋a－5)．www.sjhzhb.com（编辑部）027-62430031华章文化《火线100天》wo