《高中数学联招》矩陣的运算

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1、第三章矩阵aHi12-3154例如：A=420-932634124—96At=-31233_54024§3-1矩阵的运算(甲)矩阵的基本认识(1)矩阵的引入:x-2y+3z=5「1-235_联立方程组：＜2兀+y-3z=-3㈠21-3-33兀一y+2z=6J_3-126_1-235矩阵M=21-3-3_3-126直行横列(2)矩阵的基木名词：(a)元(element):矩阵中列出来的每个数称为矩阵的元。(b)列(row)：同一水平线各元合称此矩阵的一列。(c)行(column)：同一铅直线各元合称此矩阵的一行。(d)位于第2•列，第丿行的元称为(

2、帀)元。(e)当一个矩阵M有斤列m行时，我们称M为nxm阶的矩阵。(f)当一个矩阵M有斤列斤行吋，我们称M为川阶方阵。(3)矩阵的相等：设A二[的％X”，B=[bij]pxq9若m=p,n=q,且对于任意i与丿恒有夠=如,则称A和B相等，以A=B表示。(4)特殊矩阵：(a)设A=[aij]mxn是一个nxm阶矩阵，作—nxm阶的矩阵B=[bij]mxn9其中如=如,则称矩阵B为矩阵A的转置矩阵，符号：B=Ato(b)设A二[如也是一个斤阶方阵，若aij=aji，则称A是对称方阵。_12-4例如A二205为一个对称方阵。-457(c)设A=[aij

3、]„txn是一个"阶方阵，若aij=-aji，则称A是反对称方阵。注意主对*角线aa=0■02-4例如：A=-205是反对称方阵。4-50则称为«阶单位方阵，以In(d)单位方阵：若一个〃阶方阵，由左上角到右下角的对角在线各位置的元(即(l,l),(2,2)・・・(m)元)都是1,而其余各元都是0,1■]00_「10_01，【3=010_001表之。例：12=00(乙)矩阵的加减法与系数积(1)矩阵的加法：加法的定义：设A二⑷血x“，B=［hij］iXjf则A+B=［aij+hij］mxllo12_~20_・一2例题：设A二34,B=3-1,c=

4、535612_04求(1)A+B,B+A(2)A+(B+C),(A+B)+C由上而的例子，可知A+B=B+A,A+(B+C)=(A+B)+C(2)减法的定义:设A二⑷］〃旳，B二［如］冈，则A-B二［⑦厂如］〃曲。-12_~20_例题：：设人=34,B=3-15612,求A—B,B-A由上例可知A—BhB—A。(3)矩阵加法与减法的基本性质：(a)加法单位元素：若A为mxn阶矩阵，若存在一个mxn阶矩阵O,使得A+O二O+A,0・・・0则称0为mx/7阶矩阵之加法的单位元素。O二称为加m阶零矩阵。0...0(a)加法反元素：设A=［呦］为一加X”

5、阶矩阵，若存在一个矩阵-A,使得A+(-A)+(-A)+A=O，则称-A为A的加x”阶矩阵之加法反元素。即-A.=［-aij］mxn根据加法反元素的定义，可知A-B=A+(-B)(b)设A、B、C为加x〃阶矩阵，则下列性质成立：①交换律：A+B=B+A②结合律：A+(B+C)=(A+B)+C③A+(—A)+(—A)+A=O④-(-A)=A⑤一(A+B)二一A+(—B)(c)移项法则：设A、B、C都是同阶方阵，且A+B二C,贝!)A二C—B且B二C—A。—［证明］:因为A+B二C,等式两边同加(-B)得(A+B)+(-B)二C+(-B)A+(B+(

6、—B))=C+(—B)A+O=C-BA二C-B,同理B二C-A。［讨论］:若A+B二A+C,则B二C恒成立吗？(1)系数积的定义：(a)定义：若A=［aij］mxn为_mxn阶矩阵，而厂是任意实数,贝！J小=［厂夠］加心,此时称厂A是A系数积。314012例题：设A=2-1-2,B=34-1,试求2A,3B,2A+3B。241-211性质：设A、B为同阶的矩阵，乍为实数，则下列性质成立:(a)r(A+B)=rA+rB(b)(r+5)A=rA+.vA(c)(阳)A二r($A)注意事项:（a）二矩阵若大小一样（都是m列/7行），则可以相加减。例如：A

7、=9-5'-I23_「863_B=,A+B=456-111134067但是，「4°Lpm不能相加-56734（b）—矩阵可以乘上厂倍（厂为实数,例如：A=4[例題]]设从°0-146_■-1-2-3_,-A=1012-4-5-6相当于每个位置都乘上尸倍）6'则如83034-721C=5试解方程式3X-2B+3A=2X-5Co［解答］:■300_「206'-15-2035_++00-3_4-20-25-10-5•••3X-2B+3A=2X-5C=>X=-3A+2B-5C-16-2041—21—12—8（練習1）设A=311304C=117求下列各题

8、中的矩阵X。(1)A—B+2X二C+3A+X。(2)3X+A+B+C=A—2B+4C+X67Ans：(1)969123(2)-39T2-