2-3 一次方程組與矩陣的列運算

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1、2-3　一次方程組與矩陣的列運算1.係數矩陣與增廣矩陣﹕設是一個一次方程組﹐將的係數依序列出來的矩陣稱為方程組的係數矩陣﹒此外﹐將的係數及常數項依序列出來的矩陣稱為方程組的增廣矩陣﹒例如﹕方程組﹕的係數矩陣﹕﹔增廣矩陣﹕﹒2.矩陣列運算﹕(1)使用高斯─喬丹消去法求解一次方程組﹐在求解的過程中﹐可以把方程組用它的增廣矩陣來代替﹐如此就把方程組的求解過程轉成增廣矩陣的變形﹒解方程組過程中各項係數的變化﹐其實就是增廣矩陣作列運算的結果﹒(2)矩陣的列運算有下列三種將矩陣中的某兩列互換位置﹒將矩陣中的某一列乘以一個不為0的數﹒將矩陣中的某

2、一列乘上一個數後再加到另一列﹒係數矩陣與增廣矩陣係數矩陣與增廣矩陣﹕設是一個一次方程組﹐將的係數依序列出來的矩陣稱為方程組的係數矩陣﹒此外﹐將的係數及常數項依序列出來的矩陣稱為方程組的增廣矩陣﹒老師講解1學生練習1方程組﹐試寫出﹕(1)係數矩陣______﹐是______階矩陣﹒(2)增廣矩陣______﹐是______階矩陣﹒(1)係數矩陣﹕﹐是階矩陣﹒(2)增廣矩陣﹕﹐是階矩陣﹒方程組﹐試寫出﹕(1)係數矩陣______﹐是______階矩陣﹒(2)增廣矩陣______﹐是______階矩陣﹒(1)係數矩陣﹐是階矩陣﹒(2)增廣

3、矩陣﹐是階矩陣﹒《類題1》方程組﹐試寫出﹕(1)係數矩陣﹒是階矩陣﹒(2)增廣矩陣﹒是階矩陣﹒矩陣列運算1.使用高斯─喬丹消去法求解一次方程組﹐在求解的過程中﹐可以把方程組用它的增廣矩陣來代替﹐如此就把方程組的變形過程轉成增廣矩陣的變形﹒解方程組過程中各項係數的變化﹐其實就是增廣矩陣作列運算的結果﹒2.矩陣的列運算有下列三種(1)將矩陣中的﹒(2)將矩陣中的﹒(3)將矩陣中的﹒3.上述三種列運算﹐並不影響方程組的解﹐所以連續作各種列運算不會改變方程組的解﹒那麼何時停止﹖以三元一次方程組為例﹐我們將增廣矩陣連續作列運算﹐達到如下目標即

4、可﹕此時﹐方程組的解為﹒老師講解2學生練習2設方程組﹒(1)寫出此方程組的增廣矩陣﹒(2)利用矩陣列運算求解方程組﹒(1)增廣矩陣﹒(2)利用矩陣列運算解方程組﹒(1)寫出此方程組的增廣矩陣﹒(2)利用矩陣列運算求解方程組﹒(1)增廣矩陣﹒(2)﹐∴﹐﹐﹒﹐∴﹐﹐﹒《類題1》利用矩陣列運算解方程組﹒﹒老師講解3學生練習3利用矩陣列運算解方程組﹒﹐可知原方程組與方程組有相同的解﹒∵式是矛盾的等式﹐故原方程組無解﹒利用矩陣列運算解方程組﹒﹐可知原方程組與方程組有相同的解﹒∵式是矛盾的等式﹐故原方程組無解﹒《類題1》利用矩陣列運算解方程組

5、﹒﹒老師講解4學生練習4利用矩陣列運算解方程組﹒﹐可知原方程組與方程組有相同的解﹒如果令﹐則方程組解為﹐為實數﹐故原方程組有無限多組解﹒利用矩陣列運算解方程組﹒﹐可知原方程組與方程組有相同的解﹒如果令﹐則方程組解為﹐為實數﹐故原方程組有無限多組解﹒《類題1》下列矩陣所對應的三元一次方程組﹐哪些有無限多組解﹖﹒(1)(2)(3)(4)(5)﹒老師講解5學生練習5設矩陣經過列運算後﹐得﹐求﹐的值﹒由矩陣可知﹐﹐故利用列運算求出﹐的值﹒見學生練習2的詳解可知﹐﹐﹐故﹐﹒[另解]由矩陣可知又由矩陣可知代入兩式﹐可解得﹐﹒設矩陣經過列運算後﹐

6、得﹐求﹐﹐的值﹒由矩陣可知﹐﹐﹒故將進行列運算﹐即可得到答案﹐﹐（見老師講解2）﹒∴﹐﹐﹒[另解]由矩陣可知﹐﹐﹒又矩陣列運算不影響原方程組的解﹒故﹐﹐﹐代回原方程組可得﹒※事實上﹐矩陣與方程組的對應必須好好建立﹒《類題1》甲生利用增廣矩陣的列運算解一個三元一次聯立方程組﹐其過程如下﹕﹐試問﹕數對﹒老師講解6學生練習6決定值使方程組有解﹐並求其解﹒﹐∵方程組有解﹐所以﹒此時對應到﹐可得解為﹐為實數﹒[另解]﹐易觀察到﹐∵原方程組有解﹐故﹒設為實數﹐下列有關線性方程組的敘述哪些是正確的﹖(1)若此線性方程組有解﹐則必定恰有一組解(2)

7、若此線性方程組有解﹐則(3)若此線性方程組有解﹐則(4)若此線性方程組無解﹐則(5)若此線性方程組無解﹐則﹒【98學測】﹐(1)此線性方程組無解時﹐則且且(2)恰有一解(3)無限多解且故選(4)(5)﹒《類題1》矩陣所對應的三元一次方程組有無限多組解﹐試求數對﹒1.用矩陣列運算求解方程組﹒﹒2.設矩陣經列運算得﹐則下列何者正確﹖﹒(1)(2)(3)(4)(5)若﹐則﹒3.若一三元一次方程組的增廣矩陣經下列三個步驟運算﹕(1)第一列乘加到第二列﹔(2)第一列乘3加到第三列﹔(3)第二列乘加到第三列﹐得出矩陣﹒試問﹕原方程組為﹔及其解為

8、﹒4.矩陣可經列運算化為﹐則﹒