行列式與矩陣- 第三冊空間向量

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1、林信安老師編授第十單元一次方程組與矩陣的列運算(A)一次方程組與高斯消去法：例子：試利用高斯消去法解下述一次方程組故(1)高斯消去法(GaussElimination)解題過程：(a)將一次方程組(L)利用某個方程組中x的係數消去其它方程式中x的係數，得出同解的方程組(L/)。(b)利用另一方程式中y的係數消去其它方程式中y的係數，而得出同解方程組(L//)。(c)再利用另一方程式中z的係數消去其它方程式中z的係數，而得出同解方程組(L///)。繼續上面的作法，把另外還有的變數以同樣的方式消去，最後便能得此一次方程組的解。(2)利用高斯消去法討論一次

2、方程組的解：無解：利用高斯消去法到最後，出現下列的型式，則方程組無解。或無限多解：當一方程組用高斯消去法到最後，出現下列的型式，則方程組無限多解。~10-14~林信安老師編授[例題1]試利用高斯消去法解下列一次方程組：Ans：x=1+t，y=3-t，z=t，t為實數。(B)係數矩陣與增廣矩陣：(1)矩陣的引入：在方程組中，將係數與常數項列出來成一個矩形陣列，並用一對括號把這些數圍起來而成為，像這樣型式的矩形陣列，稱之為矩陣。(2)記號與符號：矩陣M=直行橫列(a)元：矩陣中列出來的每個數稱為矩陣的元。(b)列：同一水平線各元合稱此矩陣的一列。(c)行

3、：同一鉛直線各元合稱此矩陣的一行。(d)位於第i列，第j行的元稱為(i,j)元。(e)當一個矩陣M有n列m行時，我們稱M為n´m階的矩陣。(f)當一個矩陣M有n列n行時，我們稱M為n階的方陣。(h)設A=[aij]m´n是一個階矩陣，作一階的矩陣B=[bij]n´m，其中bij=aji，則稱矩陣B為矩陣A的轉置矩陣，符號：B=At。例子：~10-14~林信安老師編授(1)M1中(2,-1,1,3)為第列。(2)M1中為第行。(3)M1為階矩陣。(4)M1的(2,3)元為。(5)M2為階方陣。(6)M2中第二行的向量為。(3)係數矩陣與增廣矩陣：(a)

4、係數矩陣：將方程組(L)的係數依序列出來的矩陣稱為係數矩陣。(b)增廣矩陣：將方程組(L)的係數及常數項依序列出來的矩陣稱為增廣矩陣。例：的係數矩陣：，增廣矩陣：(4)矩陣的列運算：我們使用高斯消去法求解一次方程組，在求解的過程中，可以把方程組以它的增廣矩陣來代替，如此就把方程組的變形過程轉成增廣矩陣的變形。矩陣的列運算：(a)將一矩陣的某一列乘上某一數值加入另一列。(b)將一矩陣的某一列乘以一個不為0的數。(c)將一矩陣的某一列中的某兩列互換位置。~10-14~林信安老師編授簡化矩陣：一個矩陣，只要列運算後所得的矩陣達到在每個不為0的列中，第一個不

5、為0的元所屬的行中，只有這個元不等於0。我們就稱它為一個簡化矩陣。例如：為一個簡化矩陣。[例題1]設矩陣A=(1)試求矩陣A所對應的方程組L。(2)化矩陣A為簡化矩陣。(3)試寫出(L)的解。Ans：(1)L：(2)(3)x=1,y=1,z=2(C)三階行列式的計算：~10-14~林信安老師編授(1)行列式的展開：(a)直接展開：=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh(b)降階展開：=g-h+i。(2)行列式的性質：(a)行列互換其值不變。(b)某二行(列)對調其值變號。(c)二行(列)成比例其值為0。(d)某一行(列)乘上k，加到另一行(

6、列)，行列式值不變。(e)(3)行列式計算時之注意事項：(a)降階求值：利用(2)(d)之性質，將行列式化至某一行、列，的各項中，出現至多一個不為0，再利用該行、列降階求值，因為其他二項皆為0，因此只需計算一二階行列式即可。(b)觀察各行、列是否有公因數(式)，若有，提公因數(式)(c)觀察各行、列是否有成等差，若有可利用(2)(d)之性質，將行列式化某一行、列會成比例。(d)觀察各行、列，逐項相加是否相等，若相等可利用(2)(d)之性質，將其加到某一項，再提公因數，降階求值。[例題1]求下列各行列式之值~10-14~林信安老師編授(1)=？(2)=

7、？(3)=？(4)=？Ans：(1)48(2)0(3)-18900(4)0[例題1]因式分解下列行列式：(1)(2)Ans：(1)2(a+b+c)2(2)(b-a)(c-a)(c-b)~10-14~林信安老師編授[例題1]設=5，則=?Ans：55[例題2]設a,b,c為方程式2x3-5x2+1=0之三根，則=？Ans：(D)行列式與方程組(1)設方程組，設=，=，=，=(a)若¹0，則方程組恰有一解：。(b)若====0，則方程組無解或無限多解。(c)若=0，、、有一不為0，則方程組無解。~10-14~林信安老師編授(2)方程組的幾何意義：三平面的

8、相交情形可分為二類：(a)三平面中至少有二平面平行或重合：(b)三平面不互相平行或重合(3)齊次方程組：至少