《高中数学联招》3-1矩陣與列達算

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1、第三章一次方程组与矩阵的列运算§3-1一次方程组的解法与矩阵的列运算（甲）高斯消去法（1）一次方程组与高斯消去法:d)Xy+⑵⑴x—2+⑶=>（〃）：y+iy-y-,2(2，)x-+(l/)(2/)x^+(3/)(3")x8+(l〃)(3〃)x—21+(2〃)=>（厶〃）:2x2x刊2-21221••…(lz)92(2Z)—]•••••3)—-2•…d〃）2••…(2〃)_2-7…・（3〃）X=1>,=3z=—2故2z3z7Z3z例子：解下列的一次方程组2x+y+2z=1…•…⑴(厶):

2、=•…⑶高斯消去法（GaussElimination）解题过程：（a）将一次方程组（L）利用某个方程组中x的系数消去其它方程式中x的系数，得出同解的方程组（U）。（b）利用另一方程式中y的系数消去其它方程式中y的系数，而得出同解方程组（L〃）。（c）再利用另一方程式中Z的系数消去其它方程式屮Z的系数，而得出同解方程组（L〃/）。继续上面的作法，把另外还有的变量以同样的方式消去，最后便能得此一次方程组的解。（2）利用高斯消去法讨论一次方程组的解:无解：利用高斯消去法到最后，出现下列的型式，则方程组无解。或

3、0)xn=b无限多解：当一方程组用高斯消去法到最后，出现下列的型式,•••则方程组无限多解。<…0=0［例題1］试利用高斯消去法解下列一次方程组：2x+y-z=5<兀+2y+z=7Ans：x=l+r,y=3-f,z=r,/为实数。7兀+8y+z=31（練習1）试利用高斯消去法解下列一次方程组：兀一2y+3z=5<2x+y-3z=-3Ans：x=l,y=1,z=23x-y+2z=6(乙)矩阵的列运算(1)矩阵的引入：x-2y+3z=6在方程组2x+y-3z=-2中，将系数与常数项列岀来成一个矩形数组，并用一3兀一y+2z=4「1-236

4、~对括号把这些数围起来而成为21-3-2,像这样型式的矩形数组，称之为矩阵。3-124(2)记号与符号：「1-235'T列矩阵M=21-3_3直行横列_3-12J仃6_(a)元：矩阵屮列出来的每个数称为矩阵的元。(b)列：同一水平线各元合称此矩阵的一列。(C)行：同一铅直线各元合称此矩阵的一行。(d)位于第「列，第丿•行的元称为(万)元。(e)当一个矩阵M有乃列m行时，我们称M为n^m阶的矩阵。(f)当一个矩阵M有〃列〃行时,我们称M为〃阶的方阵。(g)设A=[aij]mxn是一个加x兀阶矩阵，作—nxm阶的矩阵B=[b%加,其中bi

5、j=ciji，则称矩阵B为矩阵A的转置矩阵，符号：B=Ato~26-64_232例如：A=37016762617-601—_417~2-113_「1-10_例子：=1305M2=4214227263行。(a)Mi中(2,-1,1,3)为第列。(b)Mi中0为第〔2丿(c)M

6、为—阶矩阵。(d)M

7、的(2,3)元为o@)“2为_阶方阵。(0“2中第二行的向量为(3)系数矩阵与增广矩阵：(町系数矩阵：将方程组(L)的系数依序列出来的矩阵称为系数矩阵。(b)增广矩阵：将方程组(L)的系数及常数项依序列出來的矩阵称为增广矩阵。3兀+y-z=2

8、■31-f「31-12_例：(厶)：＜x+2y+z=8的系数矩阵：121,增广矩阵：1218x+z=-4101101-4(4)矩阵的列运算：我们使用高斯消去法求解一次方程组，在求解的过程屮，可以把方程组以它的增广矩阵来代替，如此就把方程组的变形过程转成增广矩阵的变形。1-235M=21-3-33-126x-2y+3z=5••-(1)(£):]2x+y-3z=-3---(2)3x-y+2z=6••-(3)x-2y+3z=5-(1)(£/):J5.y-9z=-13---(2/)5y—7z=—9・・・(3‘)(厶—9z=—13…(2")2z

9、=4……(3〃)_1-235Mf=05-9-1305-7-9'10-1-5M"=05-9-130024<=><=>"兀=1…(严)_ioorT):5y=5---(2//z)<=>M/!/=05052z=4……(3//z)0024矩阵的列运算：(a)将一矩阵的某一列乘上某一数值加入另一列。(b)将一矩阵的某一列乘以一个不为0的数。(0将一矩阵的某一列中的某两列互换位置。简化矩阵：一个矩阵，只要列运算后所得的矩阵达到在每个不为0的列中，第一个不为0的元所属的行中，只有这个元不等于0。我们就称它为一个简化矩阵。_ioor例如：0505为一个

10、简化矩阵。0024［例題2］对以下的矩阵作列运算化到最简形式(即化成简化矩阵)_132_12-22⑴210(2)5-34301471-2701Ans：(1)13-1901271301-235［例題3］设矩阵A二21-3-