&amp#167;3－1等差數列與等比數列.doc

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1、§數列主題1：數列的意義1.數列：將一系列的數依照順序列出，就成為一個數列，數列中的每一個數稱為它的項，第一個數稱為第一項或首項，第個數稱為第項。通常以來代表一個數列的第項，而以表示第項為的數列。2.一個數列的項數若為有限，則稱為有限數列，項數無窮多項者稱為無窮數列。２０※重要範例1.寫出下列數列的前四項：(1)　〈3n－2〉。　　(2)　〈2．3n－1〉。　　(3)　〈〉。【詳解】(1)　an＝3n－2，n＝1，2，3，4代入　　∴　前四項為1，4，7，10(2)　an＝2．3n－1，n＝1，2，3，4代入　　∴　前四項為2，6，18，54(3)　an＝，n＝

2、1，2，3，4代入　　∴　前四項為－，，－，隨堂練習.寫出下列數列的前四項：(1)　〈(1－n)(2＋n)〉。　　(2)　〈〉。【詳解】(1)　an＝(1－n)(2＋n)，n＝1，2，3，4代入　　∴　前四項為0，，，(2)　an＝，n＝1，2，3，4代入　　∴　前四項為1，，，2.試求下列數列一個可能的一般項，使得它的前四項分別是下列各數：(1)　2，9，16，23，…。　　　　(2)　2×4，3×7，4×10，5×13，…。【詳解】(1)　a1＝7×1－5，a2＝7×2－5，a3＝7×3－5，a4＝7×4－5　　∴　an＝7n－5，nÎN(2)　a1＝(1＋

3、1)(3×1＋1)，a2＝(2＋1)(3×2＋1)，　　a3＝(3＋1)(3×3＋1)，a4＝(4＋1)(3×4＋1)　　∴　an＝(n＋1)(3n＋1)，nÎN隨堂練習.試求下列數列一個可能的一般項，使得它的前四項分別是下列各數：(1)　3，6，12，24，…。　　　　(2)，，，，…。【詳解】(1)　，，，　　∴　，(2)　，，，　∴，２０主題2：等差數列1等差數列：一數列若後項減前項的差為固定數，則稱此數列為等差數列，此固定數稱為其公差。※為等差（算術）數列【】2.設數列成等差，公差為則：(1)。(2)。(3)(4)在間插入個數使其成為等差數列則：２０※重

4、要範例1.設自然數m¹n，若一等差數列的第m項為a，第n項為b，則第m+n項為　　　　　。【解答】【詳解】由題意知：因為m¹n，故由-則得公差d=，因此再由等差數列公式得am+n=am+[(m+n)-m]．d=a+n．==隨堂練習.有一等差數列，已知am=n2，an=m2，m¹n，則am+n=　　　　　。【解答】-mn【詳解】設之公差為d　∵　am-an=(m-n)d=n2-m2　∵　m-n¹0∴　d=-(m+n)　∴　am+n=am+nd=n2+n[-(m+n)]=-mn２０主題3：等比數列1等比數列：一數列若後項除以前項的比為固定數，則稱此數

5、列為等比數列，此固定數稱為其公比。※為等比（幾何）數列【】2.設數列成等比，公比為：(1)。(2)。(3)。(5)在間插入個數使其成為等比差數列則：(6)，【等號成立則】※調和數列：若數列各項倒導數成等差數列則為調和數列【】：1.成等差數列2.3.２０※重要範例1.等比數列x，3x+3，4x+4，…，求第4項為　　　　　（不可以x表示）。【解答】-【詳解】=　Þ　(3x+3)2=x(4x+4)Þ　9x2+18x+9=4x2+4x　Þ　5x2+14x+9=0Þ　(5x+9)(x+1)=0　Þ　x=-或x=-1當x=-時，公比r==，a4=(-)．()3=(-)．(

6、)=-當x=-1時，公比r==0（不合）由，知a4=-2.設三正數成等比數列，其和為39。若此三數依次減去1、2、12後，則成等差數列，求此三數。【解答】4，10，25【解1】由題意知各數減去1，2，12後成等差數列，因此令三數為a-d+1，a+2，a+d+12由已知可得由得3a+15=39　∴　a=8代入則得(8+2)2=(8-d+1)．(8+d+12)　∴　d2+11d-80=0解之，得d=5或d=-161°若d=5，則此三數為4，10，252°若d=-16，則此三數為25，10，4綜合1°與2°討論知，此三數為4，10，25【解2】設三數為a，ar，ar2

7、，r>0則　Þ　由可得=，將之整理10r2-29r+10=0　Û　(2r-5)．(5r-2)=0　∴　r=或r=∴　a=4或a=25，故三數為4，10，25２０隨堂練習.設三正整數成一等比數列，其和為52，倒數和為，則這三正數中最大者為　　　　　。【解答】36【詳解】　Þ　´得=52´　Þ　=　Þ　3r2-10r+3=0Þ　(3r-1)(r-3)=0　Þ　r=3或，代入得a=4或6∴　三數為4，12，36或6，2，（不合），故最大者是364.設a，b，cÎN，1成等比數列，則(1)(a，b，c)=　　　　　。(2

8、)該數列之第四項為