直线方程与两直线的位置关系

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1、直线方程与两直线的位置关系【本讲主要内容】直线方程与两直线的位置关系直线斜率的概念、直线方程的几种形式、两条直线的位置关系、两条相交直线的夹角和到角公式、点到直线距离公式。【知识掌握】【知识点精析】1.直线斜率的概念：(1)直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a,那么a就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合吋，规定直线的倾斜角为0。。因此，直线的倾斜角Q的取值范围是0°Wa<180°o(2)直线的斜率：倾斜

2、角aH90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tana(aH90°)。(3)直线的方向向量：设Fi(xi,yi)、F2G2,y2)是直线上不同的两点，则向量F2=(x2-xi,y2-y】)称为直线的方向向量。向量丽>(1,邑二弘)=(1,k)也是该直线的X2_兀］X2-%!方向向量，k是直线的斜率。(4)求直线斜率的方法：①定义法：已知直线的倾斜角为a,且ciH90。，则斜率k二tana②公式法:已知直线过两点Pi(xi,yi)>P2(X2,y：0,•且xiHxz,则斜率

3、k二一—兀2_兀1③方向向量法：若。二(m,n)为直线的方向向量，则直线的斜率为k二上m说明：平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。斜率的图象如图：例题分析：例1、(1)图中的直线Z】、氐、厶的斜率分别为冏、局、6则:xA.k{

4、斜率k=-cosa(QWR).求直线的倾斜角0的取值范H。思路解析：COS6Z的范围T斜率k的范围Tlan0的范围T倾斜角0的取值范围例2.设直线/的练习：直线/方程为(a+l)x+y+2—a=0,直线/不过第二象限，求d的収值范围。3、利用斜率证明三点共线的方法：已知A(X[,yJ,B(X2，y2)，C(X3，y3)，若兀]=兀2=兀3或忍则有A、B、C三点共线。注：斜率变化分成两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。练习：若A(-2,3),B(3,-2),C(0,m)三点共线，则m

5、的值为练习:1.直线经过A(2,1),B(1,加2)两点，那么直线的倾斜角的取值范围是7tB・"）C.[0,-]7Tx,TC、D-[苕2（尹）1.若a=~—，则过两点A(0,cosa),B(sina,0)的直线的倾斜角是6A.71~671B.——C.—D.5龙~61.若ACvO,且BC<0,则直线Ax+By+C=Q-定不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、直线方程的几种形式名称方程的形式己知条件局限性点斜式y—少=氏O—U，t3?,）为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于X轴的

6、直线XI)斜截式y=臣工+bk为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于X轴的直线两点式y—yibgygiy]龙—笛（q…如妙是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线《工1H邀且少工截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式Ah+By+C=0⑴+時。)A,B,C为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点Pi（羽監，M）的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若e=戏且y丰》,直线垂直于X轴，方程为工=血；（2）若8H跪且帥=艾

7、，直线垂直于y轴，方程为y=y・；（3）若刃•去卫.县氏壬妙，直线方程可用两点式表示）（一）直线方程的求法1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。用待定系数法求直线方程的步骤：（1）设所求直线方程的某种形式；（2）由条件建立所求参数的方程（组）：（3）解这个方程（组）求参数；（4）把所求的参数值代入所设直线方程。2、求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注

8、意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式吋，应先判断截距是否为0。若不确定，则需分类讨论。例1・求过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足沪3b的直线方程。例2.已知ABC中，A(2,l),AB边上的中线所在的直线方程为5x+3y+l=0,AC边上的屮线所在的直线方程为2兀-3y+6=0,求直线BC的方程。例3.已知AABC三个顶点是A(-1,4),B(-2,-1),C(2,3).(1)求BC边中线AD所在直线方程；(