直线方程及两条直线位置关系

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1、直线方程及两条直线位置关系直线方程与两条直线的位置关系是高考考查的主要内容.考查直线方程的特征值（例如斜率、截距）、直线的平行与垂直的条件，以及与距离有关的问题.在选择题和填空题方面，大都属于中、低档题，考查直线的基本概念和几何要素；而在解答题方面，直线往往与圆、圆锥曲线综合考查，具有一定的灵活性.同时，我们要了解直线的斜截式方程与一次函数的关系，对有关函数、不等式等代数问题能够借助直线方程进行解决，提高解题的综合运用能力，比较典型的是线性规划问题.（1）对于直线方程，重点是掌握其五种表达形式，难点是在具体的数学

2、问题情境中正确选择直线的方程形式.（2）对于两条直线的位置关系，重点是掌握平行和垂直关系，难点是点线对称问题.若11：y=klx+bl,12：y=k2x+b2,则①11/712?圳kl=k2,blHb2；②11丄12?圳klk2=-l.若11：Alx+Bly+Cl=O,12：A2x+B2y+C2=0,则①11/712?圳A1B2-A2B1=O,A1C2—A2C1H0；②11丄12?圳A1A2+B1B2=O.（1）分类讨论思想：由于有的直线不存在斜率，所以在解答直线方程问题时，我们往往要分类讨论直线斜率是否存在，避

3、免漏解.(2)数形结合思想：“数缺形时难直观”，数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维与形象思维相结合，使数学问题化抽象为具体.将二元一次方程(即直线的方程)用直线表示，可以形象直观地看到直线的几何特性，从而为解题指出正确的方向，尤其对于最值问题和对称问题.(3)设直线方程的一些常用技巧：①若直线在y轴上的截距为b,则设其为y=kx+b.②若直线在x轴上的截距为a,则设其为x=my+a其中m二■.③若直线存在斜率k,则设其为y=kx+b.④若直线过点P(xO,y0),则设其为y—yO=k

4、(x—x0).⑤若与直线Ax+By+C=O平行，则设其为Ax+By+Cz=0(C⑥若与直线Ax+By+C=0垂直，则设其为Bx—Ay+C'=0.⑦若与直线y=kx+b平行，则设其为y=kx+b'(bHb‘).⑧若与直线y=kx+b(k^0)垂直，则设其为y二一・x+b'.(4)转化思想：将直线几何问题代数化，用代数的语言描述直线的几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；将代数问题几何化，用直线的几何特性理解二元一次方程，将代数问题转化为几何问题.直线11过点P(-1,2),且与直线12：2x-3y+4=0

5、垂直，则直线11的方程是()A.3x+2y—1=0B.3x+2y+7=0C.2x—3y+5=0D.2x—3y+8=0思索①与直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+C/=0；②若直线11和直线12存在斜率kl,k2,则11丄12?圳kl・k2=-l.破解(法一)因为11丄12,所以设直线11的方程为一3x-2y+C=0(C为待定的系数).因为直线11过点P(-l,2),所以一3X(-1)一2X2+00,即O1.所以直线11的方程为一3x—2y+l=0,即3x+2y—1=0,选项A正确.(法二)直线

6、12：2x-3y+4=0的斜率k2=■，因为11丄12,所以kl・k2=-l,故kl=-B.因为直线11过点P(-1,2),所以直线11的方程为y—2=—■(x+1),即3x+2y—1=0,选项A正确.(2012浙江)设aER,则“a=l”是"直线11：ax+2y-l=0与直线12：x+(a+1)y+4=0平行"的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件？摇？摇？摇？摇？摇C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件思索对于直线11:Alx+Bly+Cl=O和直线12:A2x+B2y+C2=0,有11//12?圳A1

7、B2—A2B1二0,A1C2—A2C1H0.破解①当a=l时，因为a(a+1)—2X1=0,且4a—(—1)XI二5工0,所以11〃12.所以“a=l”是“11〃12”的充分条件.②当11〃12时，则a(a+l)-2X1=0,4a-(-1)X1^0,即a=l,或a=—2.所以“a=l”是“11〃12”的不必要条件.综合①和②，正确答案是A.■?摇(2012天津)已知函数尸■的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是思索对于该题，命题者表面呈现给我们的是考查函数与方程，实质上是考查直线方程和数

8、形结合的思想.第一步，作出函数■的图象；第二步，认识到函数y=kx-2的图象就是直线，该直线的几何特性就是斜率为k,在y轴上的截距为一2；第三步，分析k值发生变化时两个函数图象的交点个数，确定有两个交点时k的取值范围.破解由已知可得函数■二■,从而化简得函数y二x+1,xl,—X—1.—l〈x〈l・该函数的图象如图1所不.因为函数y二kx-2的图象是一条在y轴上的截距为一