第八讲乘法公式

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1、再用等式表示图屮图形面积的运算。第八讲乘法公式一、完全平方公式利用长方形、正方形纸板(如图甲)，拼成一个大正方形(如图乙)，通过这样的拼图过程，能发现什么吗?先观察图,完全平方公式完全平方公式有怎样的结构特征？完全平方的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项中两项乘积的2倍。可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”。公式的语言叙述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差。例1.用完全平方公式计算：(1)(5

2、+3p)2(2)(-3b+2c)2.(3)(-2a-5)2变式题用完全平方公式计算(3)(a+b)(-a-b)(1).(x+2y)2(2)(-3x-4y)2例2.利用完全平方公式计算:(1)1022(2)1972［总结］:完全平方公式一一(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2ab+lA注意它们的结构特征和使用时的关键。本节学习的数学方法：数形结合的思想方法和转化的思想方法。［拓展］利用完全平方公式解决问题己知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2,ab的值。变式题已矢口a+b=5,ab=-6,求下列各式的值。(1)a2+b"(2)a2~a

3、b+b'二、平方差公式如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。(1)请表示图(1)中阴影部分的面积。(2)将阴影部分拼成了一个长方形，如图(2),这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗?(3)比较(1)(2)的结果，能验证平方差公式吗？将图(1)沿虚线剪开，拼成如图(2)的一个长方形。分别计算图(1)、图(2)的面积，有什么发现?［特征］公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差。(a+b)(a-b)=a2-b2,这个公式称为平方差公式。语言叙述：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差。平方差

4、公式在应用的时候也像完全平方公式一样要求弄清a、b分别代表什么，你能说一说下列各式哪些利用平方差公式计算吗？如果能，公式中的a、b分别代表什么？哪些不能利用平方差公式计算？为什么？(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x-3y)(3y+2x)(3)(-2x+3y)(-.2x+3y)(4)(-2x-3y)(2x-3y)(5)(-2x+3y)(-2x-3y)(6)(2x-3y)(-3y+2x)［归纳］能运用平方差公式的两个多项式具有其中一项相同，另一项的绝对值相同，但是符号相反的特点，我们把相同的一项看作是a,另一项看作是b。例1・用平方差公式计算:(1

5、)(5x+y)(5x-y)(2)(m+2n)(2n~m)(3)(一x+3y)(-x-3y)(4)(-a2-b3)(b3-a2)例2.计算(1)-3(x+l)(xT)-(3x+2)(2-3x)(2)[x+(y+l)][x-(y+l)J(2)(2x-5)(2x+_5)-2x(2x~3)(3)[a+(b+c)J[a-(b+c)]例3.街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？［总结］:平方差公式一一(a+b)(a-b)=a2-b2.两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差。［

6、拓展］平方差公式的提升应用1.怎样计算(2+1)(22+1)(2°+1)(2*+1)+1?能找到比较简单的方法吗?2.计算:⑴(1-+)(1-+)(1-右)・・・(1-右)d-击)(1)2006-20052+2004-20032+-2-1三、乘法公式的应用例1•用乘法公式计算(1)(5+3/?)~；(2)(2兀—7y)~；(3)(—2°—5)2；(4)(5d+b)(5d—/?)例2.计算(1)(x-3)(x+3)(%2+9)(2)(2x+3)2(2x-3)2(3)(x+y—4)(x+y+4)(4)[(a-b)2-(a+b)2]2练习1•利用乘法公式进行讣算

7、：(2)(3x+2)2-(3x-5)(1)(x-1)(x+1)(x2+l)(x4+l)(3)(x-2y+l)(x+2y-1)(4)(2x+3y)"2x-3y)2(6)(x2+x.+1)(x2-x+1)(5)•(2x+3)-2(2x+3)(3x-2)+(3x—2)22.己知a+b=-2,ab二-15求a2+b2.拓展1.若(x'+px+8)(x2-3x+q)的积中不含有x"和x‘项，求p,q的值2.已知x—=3一，求⑴x~H——,(2)(X)~3.试求(2-1)(2+1)(22+1)(2"+1)…(2舞+1)+1的个位数字4.a+b=5,ab=3,求：(1)

8、.(a-b)2；(2)a2+b2；(3)a4+b45.观察下列各式