第3讲概率的加法公式与乘法公式

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1、概率论与数理统计第三讲概率的运算法则经济数学基础第三节概率的运算法则一、概率的加法公式二、条件概率三、概率的乘法公式一.概率的加法法则性质1性质2（有限可加性）性质3性质4性质3证明：证明性质3证明：证明性质4例1设有一批产品共100件，其中5件是次品，任取3件，求：至少有一件是次品的概率。解法一.设A表示“任取三件至少有一件次品”，Bi表示“任取三件恰好有i件次品”，则法二.表示“任取三件全是正品”，而定理1（加法公式）证明：因为且故若A,B互不相容，有一般地，定理1可以推广到多个事件的情形。推论1若A1,A

2、2,A3为任意三个事件，则例2设、为两事件，且设，求解而所以于是二、条件概率解而求P(B

3、A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生的概率（即甲车间生产的合格品率），由于甲车间产品有60件，而其中合格品有54件所以同理同理(3)可以验证，条件概率P(•

4、A)满足概率公理化定义中的三条公理定义1为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率1非负性2规范性3可列可加性概率P(B

5、A)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都发生了区别：（1）在P(B

6、A)中，事件A，B发生有时间上的差异，A先B后；在P（AB）中，事件A

7、，B同时发生。（2）样本空间不同，在P(B

8、A)中，事件A成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为。因而有？例4一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球。试求：已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率.解记因为所以例5考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有男孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）于是得所求的两个条件概率为三、概率的乘法公式定理1（乘法公式）则由归纳法可得：则由可得例6关于某产品

9、的检验方案为从100件中任取一件，无放回，如为次品，认为不合格；如为正品，再抽一件；如此连续至多4次，如连续抽取4件正品，则认为这批产品合格，现假定这批产品中5%是次品，问产品被拒收的概率。解设则因此例7在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现，上、下两学期成绩均优的学生占5%，仅上学期得优的占7.9%,仅下学期得优的占8.9%.(1)已知某学生上学期得优，求下学期得优的概率；(2)已知某学生上学期没得优，求下学期得优的概率；(3)求上、下学期均未得优的概率。解设已知故则由已知故作业习题3