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1、第二节概率的加法公式与事件的独立性一概率的加法公式1互不相容情形定义事件“A与B至少有一个发生”称为事件A与B的和，记作A+B或。事件“至少有一个发生”称为事件的和，记作或或事件“至少有一个发生”称为事件的和，记作或例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“正好一个正面朝上”，B=“两个都是正面朝上”，C=“至少一个正面朝上”，则C=A+B又如，向一目标连续射击30次，设Ai=“第i次击中目标”A=“至少有一次击中目标”则再如，一射手向某一目标连续射击，决心射中为止，设A1=“第一次射中”，，Ak=“前次都没射中，而第k次射中”，；B=“终于命中”，则事件的“和”概念
2、相当于集合的“并集”概念。定义若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容。若事件两两互不相容，则称事件互不相容。若事件两两互不相容，则称事件互不相容。例如，掷两枚匀称的硬币，A=“两枚都是正面朝上”，B=“两枚都是反面朝上”，则A与B互不相容。再设C=“恰好一个正面朝上”，则A，B，C互不相容。事件的互不相容性相当于集合的互不相交性。概率的可加性：若事件A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B)直观上，概率的可加性可由概率的统计定义推得。概率的有限可加性：设事件互不相容，则概率的完全可加性：设为一列两两互不相容的事件，则2对立事件技巧定义事件“
3、A不发生”称为事件A的对立事件，记作例如，掷一颗均匀的骰子，设A=“出现的点数小于3”，则=“出现的点数3”又如，掷两枚匀称的硬币，设A=“至少一个正面朝上”，则=“两个都是反面朝上”对立事件概念相当于集合论中的余集概念。对立事件技巧公式：例1设有一批产品100件，其中有5件次品，现从中任取50件。问：取到的至少有一件次品的概率是多少？三一般情形定义事件“A与B同时发生”称为事件A与B的积，记作或AB或。事件“同时发生”称为事件的积，记作。事件“同时发生”称为事件的积，记作例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“至多一个正面朝上”，B=“至少一个正面朝上”，C=“正
4、好一个正面朝上”，则C=AB又如，向一目标连续射击30次，设Ai=“第i次击中目标”，A=“每次都击中目标”，则事件的积概念相当于集合论中的交集概念。概率的加法公式：例2袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地取4次，求取到的四球里没有红球或没有黄球的概率。例3某地有甲、乙两种报纸，据统计，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，其中有8%兼读甲、乙报。求该地成年人至少读一种报纸的概率。二事件的独立性1条件概率定义对事件A,B,称在事件B发生的前提下事件A发生的概率为条件概率，记作P(A
5、B).古典概型中的条件概率计算公式：例4盒中装有16个球，
6、其中6个玻璃球，另外10个是木质球。而玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的。现从中任取一个。已知取到的是蓝色球，求取到的是玻璃球的概率。在古典概型中，显然还有由此，我们不难总结出一般情形下的条件概率计算公式：例5设某种灯泡能使用1000小时以上的概率为0.6，能使用1100小时以上的概率为0.5。求已使用了1000小时以上的这种灯泡能使用到1100小时以上的概率。2乘法公式由条件概率计算公式立即得乘法公式：P(AB)=P(A
7、B)P(B)P(AB)=P(B
8、A)P(A)例6某厂生产的产品中有4%废品，而在100件合格品中
9、有75件一等品。求任取一件产品是一等品的概率。3独立性在例4中，已算出P(A
10、B)=4/11。不难知P(A)=6/16。这表明：一般说来，条件概率P(A
11、B)与概率P(A)并不一定相等。即：事件B的发生往往要影响事件A发生的概率。但也存在着P(A
12、B)=P(A)的大量实际例子。例7从10件产品（7件正品，3件次品）中每次取一件，有放回地取两次。设B=“第一次取到正品”，A=“第二次取到正品”。问：P(A
13、B)=P(A)成立吗？当P(A
14、B)=P(A)时，表明事件B的发生并不影响事件A发生的概率。而当P(B
15、A)=P(B)成立时，表明事件A的发生并不影响事件B
16、发生的概率。这就是事件A与B的所谓独立性。由条件概率计算公式不难知，P(A
17、B)=P(A)P(B
18、A)=P(B)P(AB)=P(A)P(B)这三个等式是相互等价的。于是我们引入定义如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立（简称独立）。两事件独立的直观意义：两事件的发生互不影响。通常所谓互不干扰、彼此无关等都是指独立性。实际中正是根据这些来判断独立性的，并不需要复杂的计算。例8甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5。求敌机被击中的概率及恰有一人击中敌机的概率。独立性概念可由两个事件的情形推广到多个事件
19、的情形。定义设为n个事件。若对任意的，其中任意k个事
