不等式7-3简单的线性规划问题

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1、重点难点重点：二元一次不等式表示的平面区域．难点：目标函数的确定及线性规划的实际应用知识归纳1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的平面区域．(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．(3)若Ax0＋By0＋C>0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面区域．注意：画不等式Ax＋By＋C≥0(或Ax＋By＋C≤0)

2、所表示的平面区域时，区域包括边界直线Ax＋By＋C＝0上的点，因此应将其画为实线．把等号去掉，则直线为虚线．2．线性规划的有关概念(1)把要求最大值或最小值的函数叫做目标函数．(2)目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件．(3)如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数．(4)如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件．(5)在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．(6)满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域

3、．(7)使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．3．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式所表示的平面区域作出，找出其公共部分．(2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解(一)在可行域内平行移动目标函数等值线，最先通过或最后通过的顶点便是最优解对应的点，从而确定最优解．(二)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1、l2、…、ln的斜率分别为k1

4、相交的点经常是最优解．误区警示1．在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范围，防止将范围扩大．2．对线性目标函数z＝Ax＋By中的B的符号一定要注意．当B>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当B<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．3．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点．若实际问题要求的最优解是整数解．而我们利用图解法得到的解为非

5、整数解，应作适当调整．其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是在可行域内寻找.但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优点并不明显易辨时，应将最优解附近的整点都找出来，然后逐一检查，以“验明正身”．解题技巧1．二元一次不等式表示的平面区域的判定方法(1)不过原点(也不与坐标轴重合的直线)取原点检验，将原点坐标代入，若满足不等式，则不等式表示的平面区域为原点所在的一侧，否则为另一侧；过原点的取x轴(或y轴)上一点，如(1,0)检验，结论同上．简称直线定界，特殊点定域．

6、(2)B值判断法区域不等式区域B>0B<0Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0上方直线Ax＋By＋C＝0下方Ax＋By＋C<0直线Ax＋By＋C＝0下方直线Ax＋By＋C＝0上方主要看不等号与B的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这种判断方法称作B值判断法．即判定点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B≠0)哪一侧时，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0⇔P在直线l上方；d＝0⇔P在l上；d<0⇔P在l下方．一般地说，直线不过原点时用原点判断法或B值判断法

7、，直线过原点时用B值判断法或用(1,0)点判断．2．目标函数z＝Ax＋By＋C，当B>0时，z的值随直线在y轴上截距的增大而增大；当B<0时，z的值随直线在y轴上截距的增大而减小，求整数最优解时，可用格点法．也可将边界线附近的可行解代入目标函数，求值比较得出．[例1]设集合A＝{(x，y)

8、x，y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()分析：三角形的边长为正值，且任意两边之和大于第三边由此可列出x，y满足的约束条件，画出对应的平面区域．答案：A(文)(2010·北京文)若点

9、P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y<3表示的平面区域内，则m＝________.分析：如果点P在二元一次不等式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)表示的平面区域内，则点P的坐标满足此不等式．答案：－3(理)一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：该厂有工人200人，每天只能保证160kW·h的用电额度，每天用煤不得超过1