成题改编——引申

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1、14中等数学●我为数学竞赛命题●成题改编———引申罗增儒(陕西师范大学数学系,710062)本文将结合一道全国高中数学联赛题的(A)F(-2-x)=-2-F(x)命题实践,谈成题改编中的引申技术.1+x(B)F(-x)=F1-x1　引申的认识-1(C)F(x)=F(x)(1)引申通常解释为从旧义得出新义.竞(D)F(F(x))=-x赛命题的引申技术就是从已知题目出发,沿(1984,全国高中数学联赛)纵横两个方向演绎深化得出新题目.其编拟过程经历了如下三个阶段.理想的状态是,形式新、内容新、方法新.2.1从课本中找出感兴趣的问题因而,深化延伸既包括内容的深化,也包括方1984年,笔者还在陕

2、西耀县水泥厂子弟法的更新与创新.学校任教,陕西师范大学的李珍焕前辈向我(2)引申技术的使用通常要经历三个步们转达了竞赛命题的一个思路:源于教材,深骤.化提高.于是,笔者就翻课本,找感兴趣而又首先,某一道题目的知识内容或解题方有提高空间的问题,其中函数法引起了主体的兴趣,激活了认识结构中的1-xF(x)=①相应知识链.1+x其次,分析题目的内容实质,提炼解法的引起了笔者的兴趣,因其有一个很好的性质关键步骤(专业分析).在此基础上,考虑能否1-F(x)=x,1+F(x)从特殊到一般、从离散到连续、从有限到无限即函数与反函数的图像重合.用函数迭代的作出推广或深化.还可以考虑用于解决这个话来说,

3、就是迭代周期为2,即问题的方法能否用来处理更多、更深刻的问F(F(x))=x.题.现行的课本中还保留有这个函数(文[2]最后,将获得的新成果组织成竞赛题,引P74),将这个性质作为学生的作业:进年号、贴近生活,拟人拟物、运用对比、巧设循环等是增强趣味性的常用手法.编拟选择例2　求证:函数y=1-x(x≠-1)的1+x题时,还要注意选择支的合理搭配,满足科学反函数是该函数自身.性、独立性、平行性、典型性等要求.此外,课本中还出现有涉及函数方程的2　一道函数方程题的编拟过程素材,学生有“函数方程”这个陌生概念的感[1]性认识.如(见当时的甲、乙种本,现行教材也这是一道单项选择题:有)1-x例

4、1　若F=x,则下列等式中1+x1-x例3　已知f(x)=lg,a、b∈1+x正确的是().a+b(-1,1).求证:f(a)+f(b)=f.　　收稿日期:2005-03-211+ab2005年第8期1521+x代替F(x).这还有一个好处,就是拓宽了解例4　设f(x)=2.求证:1-x题思路:既可以解出函数来判断函数的性质,(1)f(-x)=f(x);也可以不解函数方程直接判断函数的性质.(2)f1=-f(x).解函数方程学生没有学过,但在解析几x何里化参数方程为一般方程学生是知道的,函数的奇偶性是用函数方程由f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)1-tax=,n+11+t来定义

5、的.等比数列的定义=q(n≥1),any=F(x)=t等差数列的性质an+2-2an+1+an=0等都消去参数t得体现了函数方程,求等差、等比数列的通项公1-xy=,式,就是解函数方程.1+x所以,对函数①从函数方程的角度来编学生是能胜任的.问题是会不会灵活运用已题是“源于课本、深化提高”的.问题是,这个知知识,这才是数学竞赛所着意考查的.函数还有些什么性质?这就深入到第二步选择题的设计可以问:下列等式中“正确了.的是”,也可以问“错误的是”.考虑到当时的1-x习惯,最终选择了前者.于是,就把函数的三2.2探讨函数F(x)=的性质1+x个性质写成了错误的形式.[3]得出函数的几个基本性质

6、:在选择支的设计上,要保证科学性(内容(1)F(F(x))=x;科学,逻辑相容,结果唯一)、独立性(各选择-1-1(2)F(x)=F(x)(F表示F的逆对支之间不能成为充分或必要条件,否则形同应);虚设)、平行性(各选择支之间难易程度相1(3)F(-x)=;当)、典型性(诱误支不要错得太明显,的确是F(x)-1学生的典型错误)(见文[4]),据此编拟了例(4)F(x)=-F(x);1.其中选项(A)为函数性质(5),选项(B)与(5)F(-2-x)=-2-F(x);函数性质(3)有关,选项(C)与函数性质(4)有F(a)+F(b)(6)=F(ab).1+F(a)F(b)关,选项(D)与函

7、数性质(1)、(2)有关.1-x此外,函数F(x)=还可变形为3　试题的求解1+xπ本题的求解有正面肯定一支或反面否定F(x)=tan-arctanx.4三支两个基本思路.这些情况的明确,只是完成了编题的数3.1求解对照法学准备,剩下的就是组题的操作问题了.第一步解出函数方程,第二步对照选择2.3组织成试题支验证函数的性质,正确的选出(肯定一支),由于函数的这些性质基本上都是恒等变错误的排除(否定三支).形运算,因而作综合题难度不够