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1、16中等数学●我为数学竞赛命题●成题改编———增加解题的层次罗增儒(陕西师范大学数学系,710062)1 对成题改编的认识在第1985步跳到了点P1985,问点P与点P1985相距多少厘米?成题改编是从已知题目出发,经过改造(1985,五四青年智力竞赛)深化,得出新题的一种命题方法.它要求的不
例1-2 平面上给定△A1A2A3及点仅仅是“形式新”,更重要的是“内容新”,特别P0,定义As=As-3,s≥4.点列P0,P1,P2,是在解题方法上要有不同程度的丰富与创新⋯,使得点Pk+1为绕中心Ak+1顺时针旋转(推陈出新
2、).120°时点Pk所到达的位置,k=0,1,2,⋯.若1.1 从数学竞赛命题的基本途径说起P1986=P0,证明:△A1A2A3为等边三角形.数学竞赛命题的基本途径有:(第27届IMO)(1)采用最新科研成果,或者是前沿数学改编后的题目,保留了原题中“周期点研究中的科研副产品,或者是初等数学研究列”的本质,但认识已大大深化,并且改变了的新进展;设问的方向.(2)高等数学的简单化、特殊化、初等化事实2:南开大学李成章教授在谈到我(高等背景,初等解法);国第二次入选国际竞赛题的命题过程时说,(3)成题改编,包括历史名题的再
3、生.该题也是从与陶晓永同志谈话中提到的一道科研新成果虽然漂亮但不可多得,而高简单数论题(例2-1)获得的启示,经引申和变换解题方法而得出来的[2].等数学的初等化对专业要求很高,因而,成题改编就成为数学竞赛普遍采用的大众化的命例2-1 从前100个正整数中任取51题捷径.请看两个富有启发性的事实.个,其中必有两个互质.事实1:中国科技大学常庚哲教授在谈例2-2 设S={1,2,⋯,280}.求最小到我国第一次入选国际竞赛题的命题过程时自然数n,使得S的每个n元子集中都含有说,该题正是从周春荔先生提供的一道“五四5个两两互
4、质的数.青年智力竞赛”题(例1-1)“作实质性的推广”演变出来的[1].(第32届IMO)例1-1 地面上有A、B、C三点.一只青蛙位于地面上距点C为0127m的点P与原题相比,新题发生了三个变化.(1)集合S的元素由100增加到280;(2)由取出的子集中有两个数互质发展处,青蛙第一步从点P跳到关于点A的对称为5个数两两互质,这是实质性的拓广,大大
点P1,第二步从点P1跳到关于点B的对称提高了试题的难度;点P2,第三步从点P2跳到关于点C的对称(3)从取出51个数改变为问“最少得取点P3,第四步从点P3跳到关于点A的
5、对称出多少个数”,不仅改变了设问的方向,而且
点P4,⋯⋯.按这种方式一直跳下去.若青蛙改变了题目的性质,从单纯的说理变为“推理 收稿日期:2005-03-21与计算兼顾的探索型问题”.2005年第6期171.2 成题改编的技术2.1 集合相等题根据笔者的命题实践,从已知的习题出例3 已知三元素集合发,演绎深化,经常使用的技术措施有:M={x,xy,lgxy},N={0,
6、x
7、,y},(1)多道习题、多种方法的串联、并联与并且M=N.那么,综合.多数情况下是两道习题、两种方法的有机组合(见例3).x+1y2+12001
8、+1+xy2+⋯+xy2001的值为.(2)分析题目的实质、提炼解法的关键,(1987,全国高中数学联赛)然后作纵向延伸,横向拓广或触类旁通,向其这是一道以填空题形式出现的综合题,
他学科移植、类比(见例1-1,例2-1).当年曾被评为优秀试题.(3)反面转化,改变设问的方向.常见的2.1.1 试题的产生过程是把条件变为结论,尤其是变为探索性的结(1)笔者在中学任教时(1978—1985),在
论(见例1-2,例2-2).(4)引进讨论的参数.常见的是把原先的全日制十年制高中课本数学第四册“数列”一常数变为需要讨论的参数
9、,也可以添加一个节中见过一道数列求和作业题:例3-1 求下面数列的前n项和:
参数.(5)增加解题的层次.可以在前面增加充分条件,也可以在后面增加必要条件(见例3,例4).(6)设置隐含条件.可通过概念、定理、运算成立的前提等来设置隐含条件,也可通过事项间的内在联系来设置隐含条件,还可通过图形中已客观存在的关系或运动中的不变1,x2+1,⋯,xn+1n+1x+n,⋯.yy2y当时的教学参考书提供的标准答案分类讨论都没有考虑x=-1或y=-1的情况,笔者便萌生了提请注意的想法.在供题时以此为编拟的起点(从一道已知题目开始)
10、.(2)首先想到给题目增加一个层次,比如说设计一个方程组,使其解为x=-1,y=
性质等来设置隐含条件.-1.但直接给出方程组就没有竞赛味了,而
(7)否定假设法.它的基本步骤是:第1步,对已知题目进行分析,列举出它的基本要素.给出一个退化的二次曲线方程(a1x+b1y+c1)2+(a2x+b2y+c2)2=0又太俗
