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1、16中等数学●我为数学竞赛命题●成题改编———创设新情境罗增儒(陕西师范大学数学与信息科学学院,710062)成题改编是数学竞赛普遍采用的大众化(1)求出玫瑰园里玫瑰总棵数f(n)的表[1]的命题捷径,在文[1]～[3]中曾谈过“增加达式;解题的层次”“、引申”“、移植转换”等技术.本(2)花园里能否恰有99棵玫瑰?说明理文结合一些例题,谈成题改编中的“创设新情由.境”技术.在这里,除了数学实质还被保留外,我们创设新情境可以有两个途径:生活情境仿佛已经来到了缤纷的花园,这就是创设新与数学情境.情
2、境,其特点是与现实生活相联系,需要有一例1用弦两两联结圆周上的n个点,个“建模”的过程.若没有出现“三线共点”的情况,则这些弦把11992年的组合计数题圆面分成14321.1试题的由来n-6n+23n-18n+24241.1.1已有题目的改编块互不重叠的区域.一道熟知题目:42这个结果还可以表示为Cn+Cn+1或例1-1集合Sn={1,2,⋯,n}的所有43210Cn-1+Cn-1+Cn-1+Cn-1+Cn-1(与展开式n-2子集的所有元素之和为n(n+1)2.n-1012n-12=Cn-1+C
3、n-1+Cn-1+⋯+Cn-1的前5将Sn={1,2,⋯,n}的子集分为两类,一项恰好数值相等,会给不完全归纳带来意类是其元素之和为奇数,另一类是其元素之外).其证明有平面欧拉公式F=E-V+1和为偶数.于是,得到等多种途径,具有内容上的深刻性、方法上的例1-2设Sn={1,2,⋯,n}.求元素之[4]典型性.和为奇数的所有子集的所有元素之和.2000年,我们把图形转变为“玫瑰园”、求解这道题目:把区域对应为“玫瑰”,将成题例1改编为新(1)既要运算又要推理,考查学生的数学题,向全国高中数学联赛
4、供题(未被采用),后能力;来收入文[5].题目为:(2)用到对称性分析、递推(或数学归纳例2凸n(n≥4)边形玫瑰园的n个顶法)和整体处理等解题技巧,解法多样灵活;点各栽有1棵红玫瑰,每两棵红玫瑰之间都(3)其答案:有一条直小路相通,这些直小路没有出现“三1,n=1;线共点”的情况———它们把花园分割成许多所有元素之和=4,n=2;不重叠的区域(三角形、四边形,⋯⋯),每块n-3n(n+1)2,n≥3区域都恰栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰.是个分段函数,对思维的严谨性有要求;(4)当n≥3时,答案恰为例
5、1-1答案的收稿日期:2007-09-19©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net2007年第12期17一半,结果有趣味性;当1∈X时,就将X中添上1得X′.(5)其内容与方法也都比例1-1有些新于是,X与X′一一对应,且当一个为奇的进展.(偶)子集时,另一个便为偶(奇)子集.故Sn因此,我们在为1992年全国高中数学联中的奇子集与偶子集一一对应,个数
6、相等.赛供题时,想到了这道题目.(2)设Sn中的奇子集、偶子集的个数分1.1.2供题与试题别为an、bn,所有奇子集、偶子集的容量之和以例1-2为原型,我们设置了一个“奇分别为fan、fbn.(偶)集合”的数学情境,并以中档难度、叙述n由(1)及Sn中有2个子集知为简化的形式供题(见文[6]).n-1an=bn=2.例1-3若AAS,且A中所有元素之(i)当n≥3且n为奇数时,Sn中的奇和为奇数(偶数),则称A为S的奇(偶)子(偶)子集由两部分组成:一是Sn-1的奇(偶)集.已知S={1,2,⋯
7、,9}.求出S中全体奇子子集,二是Sn-1的每一个偶(奇)子集与集的所有元素的总和.n的并集.于是,有虽然数字只计算到9,但方法是一般性fan=fan-1+fbn-1+nbn-1的,供题答案中也指出了“更一般的结论”.=fan-1+fbn-1+nan-11992年全国高中数学联赛命题组将此题作为试题时,把9改为n,将中档题升为高=fbn-1+fan-1+nan-1档题,又设置了一个“集合容量”的数学情境:=fbn.例1-4设集合Sn={1,2,⋯,n}.若X(ii)当n≥3且n为偶数时,n-1为
8、奇是Sn的子集,把X中的所有数的和称为X数,由上有的“容量”(规定空集的容量为0).若X的容an-1=bn-1且fan-1=fbn-1.量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集.此时,Sn中的奇(偶)子集由两部分组(1)求证:Sn的奇子集与偶子集个数相成:一是Sn-1的奇(偶)子集,二是Sn-1的每等;一个奇(偶)子集与n的并集.于是,有(2)求证:当n≥3时,Sn的所有奇子集fan=fan-1+fan-1+nan-1的容量之和与所有偶子集的容量之和相等;=fan-1+fan-1+nbn-1(
