天津市2001-2007年大学数学竞赛试题及答案

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1、12001-2007年天津市大学数学竞赛试题集（（（2009.3.10整理）））2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（（（理工类（理工类）））一、填空：（本题15分分分，分，，，每空每空3分分分。分。。。请将最终结果填在相应的横杠上面请将最终结果填在相应的横杠上面。）2xe-1，x<0；1.函数f(x)=x在（-∞，+∞）上连续，则a=2。acosx+x2，x³0，x+y2.设函数y=y(x)由方程e-cos(xy)=0所确定，则dy=-dx。x=032373.由曲线y=-x+x+2x与x轴所围成的图形的面积A=。124.设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合

2、，则∫cosxsinxdx=E8。32x2225．设L是顺时针方向的椭圆+y=1，其周长为l，则∫L(xy+x+4y)ds=44l。二二二、二、、、选择题选择题：（本题15分分分，分，，，每小题每小题3分分分。分。。。每个小题的四个选项中每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，，，把你认为“““正确选项“正确选项”””前的字母填在括号内”前的字母填在括号内。。。选对得分。选对得分；；；选错；选错、、、不选或选出的答案多于一、不选或选出的答案多于一个个个，个，，，不得分不得分。）1.若limj(x)=u且limf(u)=A，则（D）0x®x0u®u0（A）limf[j(x)]存在；（B）limf

3、[j(x)]=Ax®x0x®x0（C）limf[j(x)]不存在；（D）A、B、C均不正确。x®x0sinx2342.设f(x)=∫sin(xd)x，g(x)=x+x，则当x®0时，（A）0（A）f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小；（B）f(x)与g(x)为等价无穷小；（C）f(x)是比g(x)更高阶的无穷小；（D）f(x)是比g(x)更低阶的无2穷小。3.设函数f(x)对任意x都满足f(x+)1=af(x)，且f)0('=b，其中a、b均为非零常数，则f(x)在x=1处（D）（A）不可导；（B）可导，且f¢)1(=a；（C）可导，且f¢)1(=b；（D）可导，且f¢)1(=ab。s4.

4、设f(x)为连续函数，且f(x)不恒为零，I=t∫tf(txd)x，其中s>0，t>0，则I0的值（C）（A）与s和t有关；（B）与s、t及x有关；（C）与s有关，与t无关；（D）与t有关，与s无关。2¶u5.设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足>0及¶x¶y22¶u¶u+=0，则（B）。22¶x¶y（A）u(x，y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（B）u(x，y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；（C）u(x，y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）u(x，y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。以下各题的

5、解答写在试题纸上，，，可以不抄题，可以不抄题，，，但必须写清题号，但必须写清题号，，，否则解答将被视为无，否则解答将被视为无效效效。效。。。2x-cosx-e2三三三、三、、、求极限求极限lim。（本题6分分分）分）））x®0x22[x+ln(1-2x)]24xx4解解解：解：：：cosx=1-++o(x)；2!4!x222224-x1x4xx4e2=1-+-+o(x)=1-++o(x)；2!222812222ln(1-2x)=-2x-(-2x)+o(x)=-2x-2x+o(x)；2由此得到：2424x2xx4xx4-1-++o(x)-1-++o(x)cosx-e2!

6、2!428lim=limx®0x22[x+ln(1-2x)]x®0x2[2x-2x-2x2+o(x2)]3144-x+o(x)121=lim=。x®0-2x4+o(x4)24-x+¥xe四四四、四、、、计算计算dx。（本题6分分分）分）））∫0-x2(1+e)解解解：：：-xx+¥xe+¥xe+¥-1x+¥+¥1dx=dx=xd=-+dx∫0(-x)2∫0(x)2∫01+ex1+ex0∫01+ex1+e1+e+¥1=dx∫01+exx1命：e=t，则dx=dt，于是t-x+¥xe+¥1+¥11t+¥∫02dx=∫1dt=∫1-dt=ln=ln2(1+e-x)t1(+t

7、)tt+11+t122¶u¶u五五五、五、、、设函数设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，，，=且u(x2,x)=x，，，22¶x¶y2u'(x2,x)=x，，，求，求求求u(''x，2x)。（本题6分分分）分）））111解解解：解：：：u(x2,x)=x两边对x求导，得到u'(x2,x)+2u'(x2,x)=112221-x代入u'(x2,x)=x，求得u'(x2,x)=，1222u'(x2,x)=