第五章 定积分及其应用习题

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1、第五章定积分及其应用【内容提要1．定积分的概念和性质（1）定积分的定义设是定义在上的函数，在区间内任意插入个分点将其分成个小区间。记，，在每个小区间上任取一点，下列和式的极限存在，且与小区间的划分及的选取无关，则称函数在上可积，并称该极限值为在上的定积分，记作，即，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间。（2）定积分的性质1）常数因子可以提到积分号外（为常数）。2）函数代数和的积分等于它们积分的代数和。3）对任意单个实数恒有。4）若在区间上，被积函数，那么特别地，当时，5）如果在区间上，，则()。6）记函数在闭区

2、间上的最大值和最小值分别为和，则7）设函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一点，使得2.定积分的计算（1）牛顿-莱布尼兹公式如果函数在区间上连续，且是的任意一个原函数，那么。（2）定积分的换元法设函数在区间上连续，并且满足下列条件：（1），且，；（2）在区间上单调且有连续的导数；（3）当从变到时，从单调地变到。则有（3）定积分的分部积分法设函数和在区间上有连续的导数，则有3.定积分的应用实际应用时，通常按以下简化步骤来进行：（1）根据实际情况选取积分变量，并确定相应的积分区间。由于分割的任意性，为简便起见，对省略下标，得，用表示内的任一小区间，并取小区间的左端

3、点为，则的近似值就是以为底，为高的小矩形的面积，即。用微分表示，则有微元（2）将所有部分量累加起来，便得到所求量的积分表达式，然后计算它的值。利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法。1）定积分在几何上的应用，求平面图形的面积和旋转体的体积。2）定积分在物理上的应用，求液体的压力和变力做功。4.广义积分和函数（1）广义积分1）无穷积分设函数连续，若极限存在，则称此极限值为函数在无限区间上的无穷积分，记作，此时称无穷积分存在或收敛；若极限不存在，就称无穷积分不存在或发散。类似地，可以定义在无限区间上的广义积分也可定义在无限区间上的广义积分2）瑕积分

4、设函数在内连续，是的瑕点，有。若极限存在，则称此极限值为函数在上的瑕积分或无界函数的广义积分，记作，并称瑕积分收敛，即若极限不存在，则称瑕积分发散。（2）函数将含参变量的广义积分称为函数。【习题解答】5-1用定积分表示下列问题中的量纲。（1）圆的面积；（2）抛物线，直线及轴所围成的图形面积；（3）质量关于时间的减少率为的葡萄糖代谢在到这段时间内减少的质量。解（1）（2）（3）5-2根据定积分的性质比较下列积分的大小。（1）与（2）与（3）与（4）与解（1）当时，，所以，从而（2）当时，，所以，从而（3）因为，所以（4）当时，，从而5-3求下列导数。（1）；（2）

5、；（3）由参数方程所确定的函数的导数；（4）由方程确定的函数的导数。解（1）（2）（3）（4）方程两边关于求导得，即5-4计算下列定积分。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）设，求。解（1）=（2）=（3）=（4）=（5）令，则=（6）令，则=（7）令，则=（8）=（9）令=5-5利用函数的奇偶性计算下列定积分。（1）；（2）；（3）；（4）。解（1）因为为奇函数，所以（2）（3）因为为奇函数，所以（4）利用定积分的线性性质可得,而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0，则5-6计算下列定积分。（1）；（2）；（3

6、）；（4）；（5）；（6）；（7）。解（1）（2）（3）（4）=（5）=（6）（7），因为故。5-7求由下列曲线所围的图形的面积。（1）及直线所围图形的面积；（2）分割成两部分图形的各自面积；（3）与直线所围图形的面积；（4）轴与直线所围图形的面积。解（1）如图4-1所示，解方程组，得交点，所求面积为图4-1（2）如图4-2所示，解方程组，得交点、，所求上半部分面积为.所求下半部分面积为.图4-2（3）如图4-3所示，解方程组，得交点，所求面积为图4-3（4）选为积分变量，如图4-4所示，所求面积为图4-45-8求由下列曲线所围的图形的面积。（1）求圆所围图形的

7、面积；（2）求三叶线围成的图形面积。解（1）（2）5-9求下列旋转体的体积。（1）由曲线和所围成的图形绕轴旋转后所得旋转体体积；（2）由所围成的图形，绕轴及轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积。解（1）（2）如图4-5所示，绕轴旋转所得的旋转体的体积为绕轴旋转所得的旋转体的体积为.图4-55-10在轴上作直线运动的质点，在任意点处所受的力为，试求质点从运动到处所做的功。解，积分得5-11设把一金属杆的长度由拉长到时，所需的力等于，其中为常数，试求将该金属杆由长度拉长到所作的功。解由于金属杆拉长所需的力与拉长的长度成正比，且，其中为常数。选择金属杆拉长的长度为积分变

8、量，其取值范围为，对于任