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《行波法与积分变换法-数学物理方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章行波法与积分变换法行波法(求解无界区域内波动方程定解问题)积分变换法(无界或有界区域)3.1一维波动方程的达朗贝尔公式3.1一维波动方程的达朗贝尔公式考虑代换利用复合函数求导法则得3.1一维波动方程的达朗贝尔公式同理有:代入方程，得到在上式中对积分,得(是的任意可微函数)3.1一维波动方程的达朗贝尔公式再将此式对积分,其中都是任意二次连续可微函数.利用初始条件，确定两个函数的具体形式。由第二式得……………②……………①.............③其中3.1一维波动方程的达朗贝尔公式由①,③解得代入通解表达式，得—达朗贝尔(D’Alembert)公式.3.1一维波动方程
2、的达朗贝尔公式图3-1u2xt=0u2xu2xt=1/2u2xt=1t=2考虑的物理意义随着时间t的推移u2的图形以速度a向x轴正向移动.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式物理意义:随着时间t的推移,的图形以速度a向x轴正方向移动,也就是说,它表示一个以速度a向x轴正方向行进的波,称为右行波.同样道理,以速度a向x轴负方向传播的行波,称为左行波.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式在平面上斜率为的两族直线,对一维波动方程的研究起到重要作用,称这两族直线为一维波动方程的特征线,变换称为特征变换,行波法也叫特征线法.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式的积分曲线,这个常微分方程称为它的特
3、征方程.一维波动方程的两族特征线恰好是常微分方程3.1一维波动方程的达朗贝尔公式一般的二阶线性偏微分方程它的特征方程为(*)这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特征曲线.记称其为二阶线性偏微分方程的判别式双曲型方程椭圆型方程抛物型方程3.1一维波动方程的达朗贝尔公式可以证明，当时，有两条相异的实特征线因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特征线做自变量替换总可以把双曲型方程化为从而得到方程的通解3.1一维波动方程的达朗贝尔公式例求下面问题的解:(3.1)解:特征方程两族积分曲线为做特征变换3.1一维波动方程的达朗贝尔公式3.1一维波动方程的达朗贝尔公式代入方程化
4、简得:3.1一维波动方程的达朗贝尔公式它的通解为其中,是两个二次连续可微函数.于是原方程的通解为代入初始条件,，得第二式的两端得关于积分得解得所求问题的解为3.1一维波动方程的达朗贝尔公式解特征方程为特征曲线为例求方程的一般解.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式所以，做变换则原方程可以变为其中,是任意的二次连续可微函数.于是，方程的通解为3.1一维波动方程的达朗贝尔公式3.2三维波动方程的泊松公式研究波在空间传播问题.三维波动方程的初值问题3.2三维波动方程的泊松公式一、球对称情形球坐标系3.2三维波动方程的泊松公式若仅是r的函数,则是r和t的函数,此时称定解问题是球对称的。
5、球对称波动方程进一步有3.2三维波动方程的泊松公式对球对称问题球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为3.2三维波动方程的泊松公式这个问题我熟悉！由达朗贝尔公式3.2三维波动方程的泊松公式二.一般情况令表示在球面上的平均值。其中M=M(x,y,z),是球面上的点,3.2三维波动方程的泊松公式二.一般情况令3.2三维波动方程的泊松公式表示以M为中心的单位球面，表示上的面积元素，表示单位球面上的面积元素，即而3.2三维波动方程的泊松公式以下推导所满足方程及初始条件。3.2三维波动方程的泊松公式进一步有：两边关于r求导，得得由3.2三维波动方程的泊松公式即可得：由3.2三维波动方
6、程的泊松公式由初值条件和的表达式，有：其中分别是函数在上的球平均值。满足如下定解问题：3.2三维波动方程的泊松公式方程的通解为利用初始条件有其中是两个二次连续可微的任意函数3.2三维波动方程的泊松公式所以解方程组得3.2三维波动方程的泊松公式将延拓到r<0的范围内。并且同理也是偶函数利用3.2三维波动方程的泊松公式所以3.2三维波动方程的泊松公式由于，只考虑的情形利用洛必达法则3.2三维波动方程的泊松公式即简记成3.2三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式三、泊松公式的物理意义从泊松公式出发，解释波在三维空间的传播现象.设且，1.在任一固定点的振动情况设，由沿以M为中
7、心，at为半径的球面的曲面积分所决定。3.2三维波动方程的泊松公式M点处于静止状态，说明T的振动尚未达到M点。①当时，为空集，所以②当时，不为空集，所以M点处于振动状态,表明T的振动已传到M点。③当时，为空集，说明振动已传过M点，M点仍回复到静止状态。3.2三维波动方程的泊松公式2.在某固定时刻，初始时刻的振动所传播的范围设，T是半径为R的球体。由Poisson公式，只有与M相距为的点上的初始扰动能够影响的值，故P点的初始扰动，在时刻只影响到以P为球心，以为半径的球面当P在T内移动时，球面族的包络面所围成的区域即为
