数学物理方程第三章 行波法和积分变换法new

《数学物理方程第三章 行波法和积分变换法new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章行波法与积分变换法本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区域上的波动方程定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，一般应用于无界区域的定界问题，有时也应用于有界域的定解问题.3.1达朗贝尔公式及波的传播在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分方程的通解一般都含

2、有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式.3.1.1达朗贝尔公式如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形式22⎧∂u2

3、∂u()()⎪2=a2−∞

4、⎣∂ξ∂ξ∂η∂η⎦将其代入式(3.1.1),得2∂u=0∂ξ∂η对ξ积分,得∂u=f()η∂η对此式再关于η积分,得u=f()ηdη+f(ξ)=f(ξ)+f(η)∫112即u()(x,t=fx+at)+f(x−at)(3.1.5)12其中f,f是二次连续可微的任意函数,这样,式(3.1.5)可以认为是式(3.1.1)的通解.12将初始条件式(3.1.2)代入式(3.1.5)中,有⎧f1()x+f2(x)=ϕ(x)(3.1.6)⎨'()'()()()afx−afx=ψx3.1.7⎩12对式(3.

5、1.7)两侧关于x在区间[]0,x上积分1xf()x−f()x=ψ()ξdξ+C(3.1.8)12∫a0联立(3.1.6),式(3.1.8),解关于f()x,f(x)的方程,有1211xCf()x=ϕ()x+ψ()ξdξ+1∫22a0211xCf()x=ϕ()x−ψ()ξdξ−2∫22a02将f()()x,fx代入式(3.1.5)中,即得到定解问题的解为1211x+atu()x,t=[]ϕ()()x+at+ϕx−at+∫ψ()ξdξ(3.1.9)22ax−at式(3.1.9)称为无限长弦自由振动

6、的达朗贝尔公式,由式(3.1.5)知,描述弦的自由振动的方程,其解可以表示成f(x+at)(,fx+at)之和,通过对他们进一步的分析,我们可以更清楚地12看出振动波传播的特点.首先设u=f(x+at),显然,它是式(3.1.1)的解,当t取不同的值时就可以得到弦在各11个时刻的振动状态.t=0时,u()x,0=f(x),它对应的初始时刻的状态,如图3-1虚线所示.11经过t这段时间后,u()x,t=f(x+at)相当于原来的实线图形,向左平移了at这段010100距离(如图3-1中实线所示).

7、随着时间t的推移,这个图形将继续向左平移,移动距离为at.这说明当式(3.1.1)的解表示为u()x,t=f(x+at,t)时,振动形成的波是以速度a向左传播11的.因此,函数f()x+at所描述的振动现象称为左传播波.同样形如u(x,t)(=fx−at,t)22的函数所描述的振动现象称为右传播波.由此可见,达朗贝尔公式表明:弦上的任意扰动,总是以行波的形式分别向两侧传播的,其传播的速度恰是弦振动方程中的常数a基于这种原因,本节所用的方法又称行波法.由达朗贝尔公式式(3.1.5)可见,解在(x,

8、t)点的数值仅依赖于初始条件在x轴的区间[]x−at,x+at上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点(x,t)的依赖区间,1它是过()x,t点分别作斜率为±的直线与x轴相交所截得的区间,如图3-2所示.ay(x,t0)xOx-at0x+at0图3-11初始时刻t=0时,取x轴上的一个区间[x,x],过点x作斜率为的直线121a1x=x+at,过点x作一个斜率为−的直线x=x−at,构成一个三角形区域,如图3-3122a所示.此三角形域中任意一点()x,t的依赖区间到落在[x,x]的内