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《数学物理方程学习指导书第5章行波法与积分变换法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第5章行波法与积分变换法在第4章中，我们鮫为详细地讨论了分离变量法，它是求解有限域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系屮的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用.本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法：一是行波法，二是积分变换法•行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但対有界域也能应用.5.1一维波动方程的达朗倍尔公式我们知道，耍求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解.对于偏微分
2、方程能否采川类似的方法呢？一般说來是不行的，原因之一是在偏微分方程屮很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要山定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的.但事情总不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解，而且可以由通解求出特解.木节我们就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到始值问题解的表达式.对于一维波动方程(5.1)(5.2)d^u,d2u~T"—,dt2dx2我们作如下的代换（为什么作这样的代换，学完本节后就会明白）:=兀+[tj-x-at.利用复合函数微分法则得du_d
3、ududrj_dududxOgdx+dr/dxQg十Qq，(53)空+2色+卑d^2d^drjdrj2同理有(5.4)将(5.3)及(5.4)代入(5.1)得(5.5)将(5.5)式对〃积分得(/(幻是§的任意可微函数)再将此式对§枳分得u(W)=“(§)昭+£(“)=+f2(x-at)9(5.6)其中/i都是任意二次连续可微函数・(5・6)式就是方程(5・1)的通解.在各个具体问题屮，我们并不满足于求通解，还要确定函数/；和厶的具体形式•为此,必须考虑定解条件，下而我们来讨论无限长弦的口由横振动.设弦的初始状态为已知，即己知定解条件刈=。=0(兀),
4、du~dt(5.7)=肖(兀)•r=o将(5.7)中的函数代入(5.6沖,得£(兀)+£(兀)=0(工)，<妙x)-af2x)=i//(x).在(5.9)两端对兀积分一次，得(5.8)(5.9)(5J0)由(5.8)与(5」0)解出・/；(兀)，£(兀)，得11C厶(兀)=30(兀)一石JoV®吐_三・把这里确定出来的£(*)和厶(兀)代回到(5・6)中，即得方程(5.1)在条件(5.7)下的解为w(x,/)=丄(p(x+at)-^-(p(x-at)]+—「”屮22aJx~at(5.11)式称为无限氏弦自由振动的达郎倍尔(D'Alembert)公
5、式.现在我们来说明达朗倍尔公式的物理意义.由于达朗倍尔公式是由(5.6)式得来的，所以我们只须说明(5.6)式的物理意义.首先，考虑$=厶(兀-血)的物理意义•我们來说明这样的函数是代表一个沿兀轴正方向传播的行波.为了讲清这一点，我们不妨考虑一•个特例，假定AS)的图形如图5-1⑷所示.则在(=0时,u2=/2(x)；在心丄时，w2=/2(x--),其图形如图5J(b)所示；在t=l22时,u2=f2(x-a),其图形如图5・l(c)所示;在t=2时,u2=f2(x-2a)f其图形如图5・l(d)所示.这些图形说明，随着时间f的推移，u2=f2(x-a
6、t)的图形以速度4向工轴正方向移动.所以u2=f2(x-at)表示一个以速度a沿兀轴正方向传播的行波.同样道理,w,=+就表示一个以速度a沿工轴负方向传播的行波.达朗倍尔公式表明，弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数a,基于上述原因，所以木节所用的方法就称为行波法.从达朗倍尔公式(5.11)述可以看出，解在(兀“)点的数值仅依赖于兀轴上区间［x-at9x+at］内的初始条件，而与其他点上的初始条件无关.区间［兀一兀+M］称为点(工,()的依赖区间•它是由过(兀昇)点的两条斜率分别为土丄的直线在兀轴a所截
7、得的区间(图5-2(a)).对初始轴》=0上的一个区间［Xj,x2］,过Xj作斜率为丄a的直线兀=旺+加，过匕作斜率为一丄的直线x=x,-,a它们和区［xpx2］-fe构成一个三角形区域(图5-2(b)),此三角形区域中任一点(兀昇)的依赖区间都落在区间［“，勺］的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全山区间［xpx2］±的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称图3-1为区间［X】,X2］的决定区域.在区间［X1?X2］上给定初始条件，就町以在其决定区域中决定始值问题的解.图5-2从上面的讨论中，我们可以看到在（兀“）平面上斜率为土丄的直
8、线x=x.±at对波动a方程的研究起着重要的作用，我们称这两族宜线为一维波动方程的特征线，波动
