2_1矩阵与矩阵的运算方法

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1、线性代数与解析几何第二章矩阵......第二章矩阵()线性代数与解析几何1/1201.§2.1矩阵与矩阵的运算2.§2.2矩阵的分块3.§2.3矩阵的秩4.§2.4矩阵的逆5.§2.5初等矩阵......第二章矩阵()线性代数与解析几何2/120在数学上，矩阵是指㓫横排列的数据表格,最ᰟ来自于方程组的系数所构成的方阵.这一概念是19ь㓠英ള数学ᇬࠥ㧧(Cayley)首先ᨆ出的.矩阵是线性代数中的一个重要䜞分,它自ခ至㓾的䍥サ于线性代数中.它联系⵶行列式,线性方程组,二次型,向量グ间和线性变换等.矩阵(Matrix)是线性代数中的一个重要概念,它䍥サ于线性代数的各个䜞分,在数学〇学,自然〇学,ᐛ

2、程ᢶᵥ和⭕产实䐫中都有很重要的作用.本章主要介绍矩阵的运算和一些基本性质.......第二章矩阵()线性代数与解析几何3/120§2.1矩阵与矩阵的运算......第二章矩阵()线性代数与解析几何4/1201.矩阵的定义......第二章矩阵()线性代数与解析几何5/120例子：矩阵假设某种物资有3个产地A1,A2,A3,有4个销售点B1,B2,B3,B4,那么一个调运方案就可以用矩阵a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34来表示,其中aij表示由产地Ai运到销售点Bj的数量.......第二章矩阵()线性代数与解析几何6/120例子：解线性方程

3、组x1+x2+x3=1x1=−1x1=−11行-2行2行-3行x2+x3=2−−−−−−−−→x2+x3=2−−−−−−−−→x2=23行-1行x1+x2+2x3=1x3=0x3=0......第二章矩阵()线性代数与解析几何7/120例子：解线性方程组x1+x2+x3=1x1=−1x1=−11行-2行2行-3行x2+x3=2−−−−−−−−→x2+x3=2−−−−−−−−→x2=23行-1行x1+x2+2x3=1x3=0x3=01111100−1100−1r1−r2

4、r2−r30112−−−→r0112−−−→01023−r1112100100010引入矩阵记号为解线性方程组带来了很大方便.......第二章矩阵()线性代数与解析几何7/120.定义1.1.一个至少含有0,1的复数集合的子集合F,如果其中任意两个数的和、.差、积、商(除数不为0)仍在F中,那么F称为一个数域.所有的有理数形成一个数域，称为有理数域,用Q表示;所有的实数形成实数域，用R表示;所有的复数形成复数域,用C表示.但所有奇数不能构成数域，所有偶数也不构成数域.......第二章矩阵()线性代数与解析几何8/120.例题1.1.集合√F={a+b2

5、a,b∈

6、Q}.构成一个数域.......第二章矩阵()线性代数与解析几何9/120.例题1.1.集合√F={a+b2

7、a,b∈Q}.构成一个数域.√√证明首先注意，若a+b2=c+d2,则必有a=c,b=d.特别√地,当a+b2=0时必有a=b=0.因为Q⊂F,所以F中有ᰖキ多个元素.若有√√α=a+b2,β=c+d2∈F,则√√√α±β=(a+b2)±(c+d2)=(a±c)+(b±d)2,√√√α×β=(a+b2)×(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2,因为当a,b,c,d为有理数时,a±c,b±d,ac+2bd,ad+bc也为有理数.所以α±β,αβ∈F.......第二章矩阵()线

8、性代数与解析几何9/120√设β=c+d2̸=0则c,d不全为0.并且c2−2d2̸=0.于是√√√αa+b2(a+b2)(c−d2)ac+2bdbc−ad√=√=√√=+2.βc+d2(c+d2)(c−d2)c2−2d2c2−2d2由于ac+2bd,bc−ad为有理数，所以α∈F.依定义F为数域.c2−2d2c2−2d2β......第二章矩阵()线性代数与解析几何10/120矩阵的定义：矩阵是指由数域F中的m×n个数排成m行(横的)n列(竖的)的表a11a12···a1na21a22···a2n.........(1)....am1am2···amn我们称它为一

9、个数域F上的m×n矩阵.通常用大写英文字母表示矩阵,上述矩阵可以简单的记作A,或A=(aij)mn,Amn或Am×n.其中aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)称为矩阵的第i行第j列上的元素,简称(i,j)元素.当所有的aij都是实数时,我们就称矩阵(1)为实矩阵;当所有的aij都是复数时,我们就称矩阵(1)为复矩阵.......第二章矩阵()线性代数与解析几何11/120矩阵的