函数复习总汇

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专题1函数(理科)例3、函数y＝1－的图象是()解析一：该题考查对f(x)＝图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y＝的图形变形到y＝，即向右平移一个单位，再变形到y＝－即将前面图形沿x轴翻转，再变形到y＝－＋1，从而得到答案B.解析二：可利用特殊值法，取x＝0，此时y＝1，取x＝2，此时y＝0.因此选B.答案：B考点二：二次函数例４　设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明.分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.证明：由题意可知.，∴，∴当时，.又，∴，综上可知，所给问题获证.-14- 点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式。例5已知二次函数，设方程的两个实数根为和.(1)如果，设函数的对称轴为，求证：；(2)如果，，求的取值范围.分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解：设，则的二根为和.(1)由及，可得，即，即两式相加得，所以，;(2)由，可得.又，所以同号.∴，等价于或，即或解之得或.考点三：抽象函数(一)函数性质法例6、A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有；②存在常数，使得对任意的，都有-14- (Ⅰ)设，证明：(Ⅱ)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的;(Ⅲ)设，任取，令证明:给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式解：对任意，，，，所以对任意的，，，所以0＜，令＝，，所以反证法:设存在两个使得，则由，得，所以，矛盾，故结论成立。，所以＋…-14- 点评：本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。考点四：函数的综合应用．　　例7设函数．(Ⅰ)求的最小值；(Ⅱ)若对恒成立，求实数的取值范围．解：(Ⅰ)，当时，取最小值，即．(Ⅱ)令，由得，(不合题意，舍去)．当变化时，的变化情况如下表：(0，1)(1，2)递增极大值递减在内有最大值．在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．　　例8甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米／时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数，并指出函数的定义域；②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.解：(读题)由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，-14- (建模)有y＝(a＋bv)(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数关系式是：y＝S(＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c].整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，由函数y＝x＋(k＞0)的单调性而得：当＜c时，则v＝时，y取最小值；当≥c时，则v＝c时，y取最小值.综上所述，为使全程成本y最小，当＜c时，行驶速度应为v＝；当≥c时，行驶速度应为v＝c.点评：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.一、强化训练（一）选择题(12个)1.函数的反函数是(　　　)A．B．C．D．2.已知是上的减函数，那么的取值范围是(A)(B)(C)(D)3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有(A)(B)(C)(D)4.已知是周期为2的奇函数，当时，设则-14- (A)　　　(B)　　　(C)　　　(D)5.函数的定义域是A.B.C.D.6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.B.C.D.7、函数的反函数的图像与轴交于点(如右图所示)，则方程在上的根是A.4B.3C.2D.18、设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(A)是奇函数(B)是奇函数(C)是偶函数(D)是偶函数9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则A．B．C．D．10、设(A)0　(B)1(C)2(D)311、对a，bR，记max{a，b}＝，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是(A)0(B)(C)(D)312、关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是A．0B．1C．2D．3-14- （一）填空题(4个)1.函数对于任意实数满足条件，若则_______________。2设则__________3.已知函数，若为奇函数，则________。4.设，函数有最小值，则不等式的解集为。（二）解答题(6个)1.设函数.(1)在区间上画出函数的图像；(2)设集合.试判断集合和之间的关系，并给出证明；(3)当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.2、设f(x)＝3ax，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根.3.已知定义域为的函数是奇函数。(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；4.设函数f(x)＝其中a为实数.(Ⅰ)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围;(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.5.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线-14- ，有公共点，且在该点处的切线相同．(I)用表示，并求的最大值；(II)求证：()．6.已知函数，是方程f(x)＝0的两个根，是f(x)的导数；设，(n＝1，2，……)(1)求的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有＞a；(3)记(n＝1，2，……)，求数列{bn}的前n项和Sn。（一）创新试题1.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则(A)(B)(C)(D)2.设函数f(x)＝3sinx＋2cosx＋1。若实数a、b、c使得af(x)＋bf(x−c)＝1对任意实数x恒成立，则的值等于()A.B.C.−1D.1解答：一、选择题1故选D。２故选C３选A４选D.５故选B.６;故选A.７故选C８故选择答案D。９选D.１０选C-14- ①１１。选C１２选A二、填空题。１解：由得，所以，则。２解：.３解：函数若为奇函数，则，即，a＝.４解：由，函数有最小值可知a>1，所以不等式可化为x－1>1，即x>2.三、解答题１解：(1)(2)方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.由于.(3)[解法一]当时，.-14- ，.又，①当，即时，取，.，则.②当，即时，取，＝.由①、②可知，当时，，.因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.[解法二]当时，.由得，令，解得或，在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；当时，的图像与函数的图像没有交点.如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到.因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.2(I)证明：因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.(II)抛物线的顶点坐标为，-14- 在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.3解：(Ⅰ)因为是奇函数，所以＝0，即又由f(1)＝－f(－1)知(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式：等价于，因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而判别式解法二：由(Ⅰ)知．又由题设条件得：　　　　　　　　　，　　即　：，整理得　上式对一切均成立，从而判别式4解：(Ⅰ)的定义域为，恒成立，，，即当时的定义域为．(Ⅱ)，令，得．由，得或，又，-14- 时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为．5解：(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或(舍去)．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．(Ⅱ)设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，．6解析：(1)∵，是方程f(x)＝0的两个根，∴；-14- (2)，＝，∵，∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号)，∴同，样，……，(n＝1，2，……)，(3)，而，即，，同理，，又四、创新试题１解：依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，x1