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时间:2019-08-05
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专题1函数(理科)例3、函数y=1-的图象是()解析一:该题考查对f(x)=图象以及对坐标平移公式的理解,将函数y=的图形变形到y=,即向右平移一个单位,再变形到y=-即将前面图形沿x轴翻转,再变形到y=-+1,从而得到答案B.解析二:可利用特殊值法,取x=0,此时y=1,取x=2,此时y=0.因此选B.答案:B考点二:二次函数例4 设二次函数,方程的两个根满足.当时,证明.分析:在已知方程两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数的表达式,从而得到函数的表达式.证明:由题意可知.,∴,∴当时,.又,∴,综上可知,所给问题获证.-14- 点评:本题主要利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式。例5已知二次函数,设方程的两个实数根为和.(1)如果,设函数的对称轴为,求证:;(2)如果,,求的取值范围.分析:条件实际上给出了的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解:设,则的二根为和.(1)由及,可得,即,即两式相加得,所以,;(2)由,可得.又,所以同号.∴,等价于或,即或解之得或.考点三:抽象函数(一)函数性质法例6、A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合:①对任意,都有;②存在常数,使得对任意的,都有-14- (Ⅰ)设,证明:(Ⅱ)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;(Ⅲ)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式解:对任意,,,,所以对任意的,,,所以0<,令=,,所以反证法:设存在两个使得,则由,得,所以,矛盾,故结论成立。,所以+…-14- 点评:本题以高等数学知识为背景,与初等数学知识巧妙结合,考查了函数及其性质、不等式性质,考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。考点四:函数的综合应用. 例7设函数.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围.解:(Ⅰ),当时,取最小值,即.(Ⅱ)令,由得,(不合题意,舍去).当变化时,的变化情况如下表:(0,1)(1,2)递增极大值递减在内有最大值.在内恒成立等价于在内恒成立,即等价于,所以的取值范围为. 例8甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域;②为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?分析:几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联,抽象出其中的函数关系,并求函数的最小值.解:(读题)由主要关系:运输总成本=每小时运输成本×时间,-14- (建模)有y=(a+bv)(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数关系式是:y=S(+bv),其中函数的定义域是v∈(0,c].整理函数有y=S(+bv)=S(v+),由函数y=x+(k>0)的单调性而得:当<c时,则v=时,y取最小值;当≥c时,则v=c时,y取最小值.综上所述,为使全程成本y最小,当<c时,行驶速度应为v=;当≥c时,行驶速度应为v=c.点评:1.对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值,其中要特别注意蕴涵的制约关系,如本题中速度v的范围,一旦忽视,将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型,也可属于不等式模型.一、强化训练(一)选择题(12个)1.函数的反函数是( )A.B.C.D.2.已知是上的减函数,那么的取值范围是(A)(B)(C)(D)3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间上的任意,恒成立”的只有(A)(B)(C)(D)4.已知是周期为2的奇函数,当时,设则-14- (A) (B) (C) (D)5.函数的定义域是A.B.C.D.6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.B.C.D.7、函数的反函数的图像与轴交于点(如右图所示),则方程在上的根是A.4B.3C.2D.18、设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(A)是奇函数(B)是奇函数(C)是偶函数(D)是偶函数9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则A.B.C.D.10、设(A)0 (B)1(C)2(D)311、对a,bR,记max{a,b}=,函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是(A)0(B)(C)(D)312、关于的方程,给出下列四个命题:①存在实数,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数,使得方程恰有8个不同的实根;其中假命题的个数是A.0B.1C.2D.3-14- (一)填空题(4个)1.函数对于任意实数满足条件,若则_______________。2设则__________3.已知函数,若为奇函数,则________。4.设,函数有最小值,则不等式的解集为。(二)解答题(6个)1.设函数.(1)在区间上画出函数的图像;(2)设集合.试判断集合和之间的关系,并给出证明;(3)当时,求证:在区间上,的图像位于函数图像的上方.2、设f(x)=3ax,f(0)>0,f(1)>0,求证:(Ⅰ)a>0且-2<<-1;(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.3.已知定义域为的函数是奇函数。(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围;4.设函数f(x)=其中a为实数.(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时,求f(x)的单减区间.5.已知定义在正实数集上的函数,,其中.设两曲线-14- ,有公共点,且在该点处的切线相同.(I)用表示,并求的最大值;(II)求证:().6.已知函数,是方程f(x)=0的两个根,是f(x)的导数;设,(n=1,2,……)(1)求的值;(2)证明:对任意的正整数n,都有>a;(3)记(n=1,2,……),求数列{bn}的前n项和Sn。(一)创新试题1.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口的机动车辆数如图所示,图中分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则(A)(B)(C)(D)2.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立,则的值等于()A.B.C.−1D.1解答:一、选择题1故选D。2故选C3选A4选D.5故选B.6;故选A.7故选C8故选择答案D。9选D.10选C-14- ①11。选C12选A二、填空题。1解:由得,所以,则。2解:.3解:函数若为奇函数,则,即,a=.4解:由,函数有最小值可知a>1,所以不等式可化为x-1>1,即x>2.三、解答题1解:(1)(2)方程的解分别是和,由于在和上单调递减,在和上单调递增,因此.由于.(3)[解法一]当时,.-14- ,.又,①当,即时,取,.,则.②当,即时,取,=.由①、②可知,当时,,.因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方.[解法二]当时,.由得,令,解得或,在区间上,当时,的图像与函数的图像只交于一点;当时,的图像与函数的图像没有交点.如图可知,由于直线过点,当时,直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到.因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方.2(I)证明:因为,所以.由条件,消去,得;由条件,消去,得,.故.(II)抛物线的顶点坐标为,-14- 在的两边乘以,得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.3解:(Ⅰ)因为是奇函数,所以=0,即又由f(1)=-f(-1)知(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,易知在上为减函数。又因是奇函数,从而不等式:等价于,因为减函数,由上式推得:.即对一切有:,从而判别式解法二:由(Ⅰ)知.又由题设条件得: , 即 :,整理得 上式对一切均成立,从而判别式4解:(Ⅰ)的定义域为,恒成立,,,即当时的定义域为.(Ⅱ),令,得.由,得或,又,-14- 时,由得;当时,;当时,由得,即当时,的单调减区间为;当时,的单调减区间为.5解:(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同.,,由题意,.即由得:,或(舍去).即有.令,则.于是当,即时,;当,即时,.故在为增函数,在为减函数,于是在的最大值为.(Ⅱ)设,则.故在为减函数,在为增函数,于是函数在上的最小值是.故当时,有,即当时,.6解析:(1)∵,是方程f(x)=0的两个根,∴;-14- (2),=,∵,∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号),∴同,样,……,(n=1,2,……),(3),而,即,,同理,,又四、创新试题1解:依题意,有x1=50+x3-55=x3-5,x1
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