复变函数积分的概念

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1、第三章复变函数的积分1CH1_§1复变函数积分的概念一复变函数积分的定义二积分存在的条件及其计算法三积分的性质2CH1_设是复平面一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选定的两个可能的方向中的一个作为正方向(或正向)，那么我们可以将理解为带有方向的曲线，称为有向曲线，如果是一条以与为端点的有向曲线，如果从到为的正向，则称从到方向为的有向曲线称为反向曲线，记为除特别声明外，有向曲线的正向总是指起点到终点的方向，对一简单闭曲线总是指逆时针方向。一复变函数积分的定义3CH1_在区域定义设函数有定义，为内一条以为起点为终点的光滑的有向曲线，如果将曲线从起点到终点依次任意分成个小弧

2、段，分点为在每个小弧段任取一点作和式记为小弧段小的弧长，趋向于零时，当如果对的无论怎样分法及在小弧段上的无论怎样取法，和式有唯一的极限，则称4CH1_极限值为函数在上的积分，记作即如果是闭曲线，则我们将沿闭曲线的积分记为：5CH1_上连续，如果函数在区域即为上的连续函数。设设光滑曲线是由方程：确定，其正向是从起点到终点的方向，其中为起点参数，是终点的参数，且由于二积分存在的条件及其计算法6CH1_所以由线积分存在定理得，当上面的两个和式的极限都是存在的，且有表明：1）当是连续函数，是光滑曲线，则一定存在；7CH1_2）计算复函数的积分可以转化为计算两个平面上对坐标的曲

3、线积分。根据对坐标的曲线积分的计算法，有因此8CH1_如果是分段光滑的有向曲线，即是由几段光滑的有向曲线依次首尾相接而构成的，则我们规定：例11）从原点沿曲线到点2）从原点沿曲线到点3）从原点沿实轴到点1，再平行于虚轴到点计算积分其中为9CH1_解1）2）3）从到从到10CH1_例21）从原点沿曲线到点2）从原点沿曲线到点3）从原点沿实轴到点1，再平行于虚轴到点计算积分其中为解1）2）11CH1_3）从到从到12CH1_例3设为正向圆周计算：1）2）解利用与格林公式，1）2）原式原式13CH1_例4设为正向圆周：计算其中，为正整数。解设的方程为从到则因此，当时，14C

4、H1_当时，即15CH1_1）2）为常数)3）4）特别，当曲线弧长为时，在上满足则有三积分的性质16CH1_