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《6.轨迹方程.交轨法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第六讲:轨迹方程.交轨法21第六讲:轨迹方程.交轨法若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点,此时,要首先分析两动曲线的变化,依赖于哪一个变量？设出这个变量为t,求出两动曲线的方程,然后由这两动曲线方程着力消去参数t,化简整理即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.一.解析形式例1:(2003年新课程高考试题)己知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O,以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E、F,使得
2、
3、PE
4、+
5、PF
6、为定值.若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)由c=(0,a),i=(1,0)c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa)直线OP、AP的方程分别为λy=ax、y-a=-2λax,消去参数λ,得点P(x,y)的坐标满足y(y-a)=-2a2x2,即=1.①当a=时,点P的轨迹为圆,故不存在满足题意的定点;②当a≠时,点P的轨迹为椭圆,故存在椭圆的两焦点满足题意.类题:1.(2011年安徽高考试题)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.(Ⅰ)证明l
7、1与l2相交;(Ⅱ)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.2.(2005年全国高中数学联赛安徽预赛试题)己知常数a>0,向量p=(1,0),q=(0,a),经过定点M(0,-a),方向向量为λp+q的直线与经过定点N(0,a),方向向量为p+2λq的直线相交于点R,其中λ∈R.(Ⅰ)求点R的轨迹方程;(Ⅱ)设a=,过F(0,1)的直线l交点R的轨迹于A、B两点,求的取值范围.二.平几形式例2:(2013年福建高考试题)如图,在正方形OABC中,yO为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,CB10),分别将线段OA和A
8、B十等分,分点分别记为A1,A2,Bi…,A9和B1,B2,…,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBiB1交于点Pi(i∈N+,1≤i≤9).OA1AiAx(Ⅰ)求证:点Pi(i∈N+,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(Ⅱ)过点C作直线l与交抛物线E于不同的两点M、N,若△OCM与△OCN的面积比为4:1,求直线l的方程.解析:(Ⅰ)因Bi(10,i)直线OBi:y=x;直线AiPi:x=iPi(i,)点Pi(i∈N+,1≤i≤9)在抛物线E:x2=10y上;(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:y
9、=kx+10;由x2-10kx-100=0x1+x2=10k,x1x2=-100;因△OCM与△OCN的面积比为4:1
10、x1
11、=4
12、x2
13、(x1x2<0)x1=-4x2-3x2=10k,-4x22=-100k=直线l的方程:y=x+10.类题:1.(1983年全国高考副题)如图,在直角坐标系中,己知矩形OABC的边y长OA=a,CO=b,点D在AO的延长线上,OD=a,设M、N分别是OC、BCCNB边上的动点,使OM:MC=BN:NC≠0,求直线DM与AN的交点P的轨迹方MP程,并画出图形.DOAx22第六讲:轨迹方程.交轨法2.(2003
14、年大纲卷高考试题)己知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,yO为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,DFCP为CE与OF的交点(如图)问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的GPE和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.AOBx三.解析条件例3:(2004年全国高中数学联赛山东预赛试题)设A1、A2是椭圆+=1(a>b>0)长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是.解析:设点P1的坐标为(m,n),则有P2(m,-n),
15、A1P1所在直线的方程为y=(x+a),A2P2所在直线的方程为y=(x-a),两式相乘,并利用+=1消去m、n有-=1.类题:1.(1990年上海高考试题)己知点P在直线x=2上移动,直线l过原点且与OP垂直,通过点A(1,0)及点P的直线m与直线l交于点Q,求点Q的轨迹方程,并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.2.(1986年全国高考试题)已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为的线段AB在直线L上移动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程).四.曲线条件例4:(2012年辽宁高考试题)
16、如图,动圆C1:x2+y2=t2,1
