数学分析III试卷

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1、暨南大学《数学分析III》试卷A考生姓名、学号：暨南大学考试试卷教师填写2011-2012学年度第___一___学期课程名称：________数学分析III（答案）____授课教师姓名：_______________考试时间:___2012____年__1__月__6____日课程类别必修[]选修[]考试方式开卷[]闭卷[]试卷类别(A、B)[A]共6页考生填写学院(校)专业班(级)姓名学号内招[]外招[]题号一二三四五六七八九十总分得分得分评阅人一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1.=2．2.函数在点处沿方向（其方向角

2、分别为）的方向导数为.3.已知，则=．4.设区域，作适当极坐标变换，则=第6页共6页暨南大学《数学分析III》试卷A考生姓名、学号：5.在上不一致收敛是指，．6.设为曲线相应于从到的这段弧，则＝.得分评阅人二、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，满分16分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1.的聚点集合是（C）．A．B．C．D．空集2.设函数在处可微，且则在该点处（B）A．必有极值，可能为极大值，也可能为极小值；B．可能有极值也可能无极值；C．必有极大值；D．必有极小值.3.累次积

3、分交换积分顺序后，正确的是(B)A．；B．；C．；D．4．函数在点处的全微分为(B)．A．B．C．D．5.设具有连续偏导数，且，，。如果，则=（B）.A．B．C．D．6.设曲面由方程给出，为曲面在面上的投影区域，函数在上具有连续偏导数，则曲面的面积的计算公式为(C)．A．B．第6页共6页暨南大学《数学分析III》试卷A考生姓名、学号：C．D．都不对7.下列命题正确的是（A）．A．隐函数定理是一个局部定理.B．若方程在的某邻域能确定一个隐函数，也一定能确定一个隐函数.C．若不满足隐函数定理的条件，则一定不能唯一确定一个隐函数.D．若

4、方程确定的隐函数为.则.8.下列积分与路线有关的是(C)A．B．C．D．.得分评阅人三、计算题（共5小题，每小题9分，共45分）1．假设具有二阶连续偏导数，，求解：………………………………4分。……5分2．计算的值.解：=-，故………………………………2分=………………………………1分第6页共6页暨南大学《数学分析III》试卷A考生姓名、学号：因为在上连续，对于，因，而收敛，由判别法知一致收敛，根据积分交换定理（注：此处必须说明为什么积分可交换的原因，否则扣3分），有………………………………4分=-==……2分3.求函数在条件下的

5、最小值，其中为正整数，，.解：设.…………………………2分对求偏导数，并令它们都等于0，则有，解得.……………………3分由于当或时，.（或：由，则，则，在处，），（注：此处必须说明理由，否则扣2分）……………………3分故函数必在其惟一稳定点处取得最小值，最小值.………………………………1分4.计算,其中为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,的方向为逆时针方向.解：记所围成的闭区域为,令,则当时,有.………………………………3分第6页共6页暨南大学《数学分析III》试卷A考生姓名、学号：(1)当时,由格林公式知………………

6、……2分(2)当时,作位于内圆周,记由和所围成,应用格林公式,得所以=………………………………4分5.计算曲面积分，其中是上半球面的外侧.解：设,且方向向下,则与构成封闭曲面.……2分显然有.所以………………………2分原式.…………………5分得分评阅人四、证明题（共2小题，共21分）1.证明：,其中D由所围成．（8分）证作变换，则，变换的Jacobi行列式为。………………………………4分于是。………………………………4分第6页共6页暨南大学《数学分析III》试卷A考生姓名、学号：2．证明函数在点连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，

7、而在原点可微.（13分）证由于因此点连续.………………………………2分由偏导数定义知..……2分而当时但由于，而令，则固定，取，则，其极限随的变动而改变，故不存在（注：此处必须说明该极限为什么不存在，如不说明理由，则扣2分）.……………………4分因此当时，的极限不存在，从而在点不连续.同理可证在点不连续.………………………1分而由于所以在点处可微.………………………………4分第6页共6页