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1、数学分析数学分析IIIIII第第3333讲讲教学内容：含参变量的常义积分教学内容：含参变量的常义积分第十五章含参变量的积分问题：数学分析中有多少种积分？三重积分第一类曲线积分二重积分第二类定积分第一类不定积分含参变量曲面积分的积分第二类问题：什么样的积分叫做含参变量的积分？例题化二重积分∫∫f(,xy)dxdy为累次积分，其中D（i）D=≤{(xy,)
2、a()yx≤b()y}（ii）Dx={(,y)
3、x≥≤0,0y≤1}db()y解（i）f(,xy)dxdyf=⎡(x,y)dx⎤dy；∫∫∫ca⎢⎣∫()y⎥⎦D1+∞（ii）f(,xy)dxdy
4、f=⎡(x,y)dx⎤dy∫∫∫00⎢⎣∫⎥⎦D形如：bbt()（1）F()yf=∫(x,y)dx，Gt()=∫g(tx,)dx（at()，bt()在aat()[,αβ]连续）+∞1st−−1pq−−11（2）Γ=()st∫edt，Bp(,q)=−∫x(1x)dx00的积分称为含参变量的积分，其中y；；；tsp，q分别称为参变量.常义积分，形如（1）的积分含参积分反常积分，形如（2）的积分§15.1含参变量的常义积分（分析性质）一、连续性（被积函数连续，含参积分是否连续？）定理15.1.1（连续性定理）设f(,xy)在Da=[,b]×[c,d]b
5、上连续，则函数I()yf=∫(x,y)dx在[,cd上连续，即]abb∀∈yc0[,d]，.lim∫∫f(x,y)dx=f(x,y0)dxyy→aa0证明:by()问题1对于I()yf=∫(x,y)dx，是否有类似于定理ay()15.1.1的结论？即是否有如下定理？定理15.1.1’设f(,xy)在[,ab]×[c,d]上连续，a()y，b()y在[,cd]连续，且aa≤()y，b()y≤b（∀∈y[,cd]），则by()I()yf=∫(x,y)dx在[,cd]连续.ay()证明：二、积分可交换性定理定理15.1.2（可积性定理）设f(,xy在)
6、[,ab]×[c,d]b上连续，则含参积分F()yf=∫(x,y)dx在[,cd]可积,并且addbbd∫∫ccF()ydy==dy∫af(x,y)dx∫adx∫cf(x,y)dy证明：ba1xx−例15.1.2计算I=∫dx,其中:.ba>>00lnx解:1+b例15.1.2答案:ln1+a二、可导性定理定理15.1.3（积分号求导定理）设fx(,y)，fy(,xy)都在b闭区域[,ab]×[c,d]上连续，则I()yf=∫(x,y)dx在[,cd上]可adbb∀∈yc[,d]'导，并且有Iy()=f(x,y)dx=f(,xy)dx.dy∫a∫
7、ay证明:by()问题2对于可变限的含参积分Fy()=∫f(x,y)dx，若ay()f(,xy)a'()y''y，，b()y均在[,cd]存在，Fy()也存在吗？定理15.1.4设fx(,y)，fy(,xy)都在[,ab]×[c,d]上连续，如果ay()，by()在[,cd]上可导，并且aa≤()y，by()≤b，则by()函数F()yf=∫(x,y)dx在[,cd]上可导，并且∀yc∈[,d]，有ay()by()'''F()yf=+∫y(x,y)dxf()xb,()yb()yf−(xa,(y))a(y)ay()证明:四、应用举例2y2−yt'例
8、15.1.4已知I()ye=∫dt，求I()y.y解..215y2533例15.1.4答案:Iy'()=−∫e−−ytdt+yey−e−y22yy21fx()例15.1.5设fx()连续，ϕ()x=∫f(xt)dt且lim0=A0x→x''（常数），求ϕ()x，并讨论ϕ()x在x=0处的连续性.解⎧11x−+fu()duf()xx,x≠0⎪⎪xx2∫0'ϕ()x=⎨⎪A,0x=⎪⎩21ln(1+ax)例15.1.6设I()ad=x，求I(1（武汉大学，)∫01+x22004）.解1例3答案:(6π+)ln2−18作业：P377～3781题～5题，
9、8题
